Theorem ontri1 2971

Description: A trichotomy law for ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
ontri1	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 2970	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
2		eloni 2948	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3		eloni 2948	. 2 |- (B e. On -> Ord B)
4	1, 2, 3	syl2an 454	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A (_ B <-> -. B e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   (_ wss 2037  Ord word 2937  Oncon0 2938

This theorem is referenced by:  onint 2996  onnmin 3005  oneqmini 3007  onmindif 3050  onmindif2 3051  dfom2 3123  oawordeulem 4172  odi 4194  rankr1lem 4645  rankr1 4646  rankr1a 4649  rankel 4652  unbndrank 4655  rankxplim3 4686  cardne 4802  carden 4803  carddom 4808  domtri 4810  sdomel 4819  cardsdomel 4824  ondomcard 4829  cardprc 4833  alephord 4847  alephord3 4850  alephle 4856  om2uzlt2 6236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942

Copyright terms: Public domain