Theorem onssneli 3101

Description: An ordering law for ordinal numbers.

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	|- A e. On

Assertion

Ref	Expression
onssneli	|- (A (_ B -> -. B e. A)

Proof of Theorem onssneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . . . 5 |- A e. On
2	1	onel 3098	. . . 4 |- (B e. A -> B e. On)
3		eloni 2958	. . . 4 |- (B e. On -> Ord B)
4		ordirr 2966	. . . 4 |- (Ord B -> -. B e. B)
5	2, 3, 4	3syl 20	. . 3 |- (B e. A -> -. B e. B)
6		ssel 2063	. . . 4 |- (A (_ B -> (B e. A -> B e. B))
7	6	com12 11	. . 3 |- (B e. A -> (A (_ B -> B e. B))
8	5, 7	mtod 108	. 2 |- (B e. A -> -. A (_ B)
9	8	con2i 97	1 |- (A (_ B -> -. B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   e. wcel 958   (_ wss 2047  Ord word 2947  Oncon0 2948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain