Theorem onintrab2 3020

Description: An existence condition equivalent to an intersection's being an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
onintrab2	|- (E.x e. On ph <-> |^|{x e. On | ph} e. On)

Proof of Theorem onintrab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intexrab 2737	. 2 |- (E.x e. On ph <-> |^|{x e. On | ph} e. V)
2		onintrab 3019	. 2 |- (|^|{x e. On | ph} e. V <-> |^|{x e. On | ph} e. On)
3	1, 2	bitr 173	1 |- (E.x e. On ph <-> |^|{x e. On | ph} e. On)

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 960  E.wrex 1649  {crab 1651  Vcvv 1814  |^|cint 2537  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  cardmin 4871  cardaleph 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain