Theorem oninton 3018

Description: The intersection of a non-empty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
oninton	|- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3012	. . . 4 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2	1	ex 373	. . 3 |- (A (_ On -> (A =/= (/) -> |^|A e. A))
3		ssel 2066	. . 3 |- (A (_ On -> (|^|A e. A -> |^|A e. On))
4	2, 3	syld 27	. 2 |- (A (_ On -> (A =/= (/) -> |^|A e. On))
5	4	imp 350	1 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960   =/= wne 1588   (_ wss 2050  (/)c0 2283  |^|cint 2537  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  onintrab 3019  onnmin 3021  onminex 3026  onmindif2 3067  iinon 3916  oawordeulem 4194  tz9.12lem1 4669  rankon 4681  oncardval 4829  oncardon 4830  cardon 4837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain