Theorem oneo 4212

Description: If an ordinal number is even, its successor is odd.

Assertion

Ref	Expression
oneo	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Proof of Theorem oneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onnbtwn 3064	. . 3 |- (A e. On -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2	1	3ad2ant1 800	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3		suceq 3034	. . . . 5 |- (C = (2o .o A) -> suc C = suc (2o .o A))
4	3	eqeq1d 1483	. . . 4 |- (C = (2o .o A) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
5	4	3ad2ant3 802	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) <-> suc (2o .o A) = (2o .o B)))
6		2on 4139	. . . . . . . 8 |- 2o e. On
7		omord 4199	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On /\ 2o e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
8	6, 7	mp3an3 905	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
9		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ (/) e. 2o) -> A e. B)
10	8, 9	syl6bir 215	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((2o .o A) e. (2o .o B) -> A e. B))
11		oprex 3983	. . . . . . . 8 |- (2o .o A) e. V
12	11	sucid 3051	. . . . . . 7 |- (2o .o A) e. suc (2o .o A)
13		eleq2 1535	. . . . . . 7 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> ((2o .o A) e. suc (2o .o A) <-> (2o .o A) e. (2o .o B)))
14	12, 13	mpbii 193	. . . . . 6 |- (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (2o .o A) e. (2o .o B))
15	10, 14	syl5 21	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> A e. B))
16		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) = (2o .o B))
17		omcl 4171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o A) e. On)
18	6, 17	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o A) e. On)
19		oa1suc 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2o .o A) e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
20	18, 19	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) = suc (2o .o A))
21		1on 4138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. On
22	21	elisseti 1818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. V
23	22	sucid 3051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. suc 1o
24		df-2o 4134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = suc 1o
25	23, 24	eleqtrr 1547	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. 2o
26		oaord 4181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1o e. On /\ 2o e. On /\ (2o .o A) e. On) -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
27	21, 6, 26	mp3an12 906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2o .o A) e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
28	18, 27	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. On -> (1o e. 2o <-> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o)))
29	25, 28	mpbii 193	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. ((2o .o A) +o 2o))
30		omsuc 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2o e. On /\ A e. On) -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
31	6, 30	mpan 695	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. On -> (2o .o suc A) = ((2o .o A) +o 2o))
32	29, 31	eleqtrrd 1551	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> ((2o .o A) +o 1o) e. (2o .o suc A))
33	20, 32	eqeltrrd 1549	. . . . . . . . . 10 |- (A e. On -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
34	33	ad2antrr 404	. . . . . . . . 9 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> suc (2o .o A) e. (2o .o suc A))
35	16, 34	eqeltrrd 1549	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (2o .o B) e. (2o .o suc A))
36		omord 4199	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. On /\ suc A e. On /\ 2o e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
37	6, 36	mp3an3 905	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. On /\ suc A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
38		suceloni 3062	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. On -> suc A e. On)
39	37, 38	sylan2 451	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
40	39	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
41	40	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> ((B e. suc A /\ (/) e. 2o) <-> (2o .o B) e. (2o .o suc A)))
42	35, 41	mpbird 196	. . . . . . 7 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> (B e. suc A /\ (/) e. 2o))
43	42	pm3.26d 321	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ suc (2o .o A) = (2o .o B)) -> B e. suc A)
44	43	ex 373	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> B e. suc A))
45	15, 44	jcad 600	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
46	45	3adant3 799	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc (2o .o A) = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
47	5, 46	sylbid 203	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> (suc C = (2o .o B) -> (A e. B /\ B e. suc A)))
48	2, 47	mtod 108	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C = (2o .o A)) -> -. suc C = (2o .o B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  Oncon0 2948  suc csuc 2950  (class class class)co 3963  1oc1o 4128  2oc2o 4129   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  nneob 4255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-2o 4134  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain