Theorem on1el6 10206

Description: The only unital ring with one element is the zero ring. (Contributed by FL, 15-Feb-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
on1el3.1	|- G = (1st` R)
on1el3.2	|- X = ran G
on1el3.3	|- Z = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
on1el6	|- (R e. Ring -> (X ~~ 1o <-> R = <.{<.<.Z, Z>., Z>.}, {<.<.Z, Z>., Z>.}>.))

Proof of Theorem on1el6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on1el3.1	. . 3 |- G = (1st` R)
2		on1el3.2	. . 3 |- X = ran G
3		on1el3.3	. . 3 |- Z = (Id` G)
4	1, 2, 3	ring0cl 9279	. 2 |- (R e. Ring -> Z e. X)
5	1, 2	on1el4 10205	. 2 |- ((R e. Ring /\ Z e. X) -> (X ~~ 1o <-> R = <.{<.<.Z, Z>., Z>.}, {<.<.Z, Z>., Z>.}>.))
6	4, 5	mpdan 765	1 |- (R e. Ring -> (X ~~ 1o <-> R = <.{<.<.Z, Z>., Z>.}, {<.<.Z, Z>., Z>.}>.))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   = wceq 1136   e. wcel 1138  {csn 2868  <.cop 2870   class class class wbr 3158  ran crn 3798  ` cfv 3809  1stc1st 4829  1oc1o 4983   ~~ cen 5234  Idcgi 9107  Ringcring 9258

This theorem is referenced by:  dvrunz 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-1o 4988  df-er 5129  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-fin 5241  df-grp 9111  df-gid 9112  df-abl 9203  df-ring 9259

Copyright terms: Public domain