Theorem on0eln0 3024

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero.

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	|- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 2958	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
2		ord0eln0 3023	. 2 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
3	1, 2	syl 10	1 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  Ord word 2947  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  oe0lem 4152  oevn0 4154  oa00 4193  omord 4199  om00 4206  om00el 4207  oewordri 4219  oeworde 4220  oeordsuc 4221  oelim2 4222

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain