Theorem omwordi 4202

Description: Weak ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omwordi	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))

Proof of Theorem omwordi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omword 4201	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B <-> (C .o A) (_ (C .o B)))
2	1	biimpd 153	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))
3	2	ex 373	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B))))
4		eloni 2958	. . . . . 6 |- (C e. On -> Ord C)
5		ord0eln0 3023	. . . . . . 7 |- (Ord C -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
6	5	necon2bbid 1623	. . . . . 6 |- (Ord C -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
7	4, 6	syl 10	. . . . 5 |- (C e. On -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
8	7	3ad2ant3 802	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) <-> -. (/) e. C))
9		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o A) = ((/) .o A))
10		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
11	9, 10	sseq12d 2090	. . . . . 6 |- (C = (/) -> ((C .o A) (_ (C .o B) <-> ((/) .o A) (_ ((/) .o B)))
12		ssid 2080	. . . . . . 7 |- (/) (_ (/)
13		om0r 4174	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))
14	13	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) = (/))
15		om0r 4174	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
16	15	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o B) = (/))
17	14, 16	sseq12d 2090	. . . . . . 7 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) .o A) (_ ((/) .o B) <-> (/) (_ (/)))
18	12, 17	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) .o A) (_ ((/) .o B))
19	11, 18	syl5cbir 211	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) (_ (C .o B)))
20	19	3adant3 799	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (C = (/) -> (C .o A) (_ (C .o B)))
21	8, 20	sylbird 205	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (C .o A) (_ (C .o B)))
22	21	a1dd 42	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (-. (/) e. C -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B))))
23	3, 22	pm2.61d 127	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A (_ B -> (C .o A) (_ (C .o B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  (/)c0 2280  Ord word 2947  Oncon0 2948  (class class class)co 3963   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  omword1 4204  omass 4211  oewordri 4219

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain