Theorem omword2 4189

Description: An ordinal is less than or equal to its product with another.

Assertion

Ref	Expression
omword2	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (B .o A))

Proof of Theorem omword2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om1r 4161	. . 3 |- (A e. On -> (1o .o A) = A)
2	1	ad2antrr 404	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> (1o .o A) = A)
3		ordgt0ge1 4128	. . . . . 6 |- (Ord B -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
4	3	biimpa 416	. . . . 5 |- ((Ord B /\ (/) e. B) -> 1o (_ B)
5		eloni 2948	. . . . 5 |- (B e. On -> Ord B)
6	4, 5	sylan 448	. . . 4 |- ((B e. On /\ (/) e. B) -> 1o (_ B)
7	6	adantll 392	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> 1o (_ B)
8		1on 4122	. . . . . 6 |- 1o e. On
9		omwordri 4187	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (1o .o A) (_ (B .o A)))
10	8, 9	mp3an1 900	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (1o .o A) (_ (B .o A)))
11	10	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (1o (_ B -> (1o .o A) (_ (B .o A)))
12	11	adantr 389	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> (1o (_ B -> (1o .o A) (_ (B .o A)))
13	7, 12	mpd 26	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> (1o .o A) (_ (B .o A))
14	2, 13	eqsstr3d 2086	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (B .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  (/)c0 2270  Ord word 2937  Oncon0 2938  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   .o comu 4115

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain