Theorem omword1 4194

Description: An ordinal is less than or equal to its product with another.

Assertion

Ref	Expression
omword1	|- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (A .o B))

Proof of Theorem omword1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 2953	. . . . 5 |- (B e. On -> Ord B)
2		ordgt0ge1 4134	. . . . 5 |- (Ord B -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
3	1, 2	syl 10	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
4	3	adantl 388	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B <-> 1o (_ B))
5		1on 4128	. . . . . 6 |- 1o e. On
6		omwordi 4192	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
7	5, 6	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
8	7	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (1o (_ B -> (A .o 1o) (_ (A .o B)))
9		om1 4166	. . . . . 6 |- (A e. On -> (A .o 1o) = A)
10	9	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o 1o) = A)
11	10	sseq1d 2084	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o 1o) (_ (A .o B) <-> A (_ (A .o B)))
12	8, 11	sylibd 202	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (1o (_ B -> A (_ (A .o B)))
13	4, 12	sylbid 203	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B -> A (_ (A .o B)))
14	13	imp 350	1 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ (/) e. B) -> A (_ (A .o B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043  (/)c0 2276  Ord word 2942  Oncon0 2943  (class class class)co 3954  1oc1o 4118   .o comu 4121

This theorem is referenced by:  om00 4196

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126

Copyright terms: Public domain