Theorem omsmolem 4240

Description: Lemma for omsmo 4241.

Assertion

Ref	Expression
omsmolem	|- (y e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,F,y,z

Proof of Theorem omsmolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1527	. . 3 |- (y = (/) -> (z e. y <-> z e. (/)))
2		fveq2 3709	. . . 4 |- (y = (/) -> (F` y) = (F` (/)))
3	2	eleq2d 1533	. . 3 |- (y = (/) -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` (/))))
4	1, 3	imbi12d 624	. 2 |- (y = (/) -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))))
5		eleq2 1527	. . 3 |- (y = w -> (z e. y <-> z e. w))
6		fveq2 3709	. . . 4 |- (y = w -> (F` y) = (F` w))
7	6	eleq2d 1533	. . 3 |- (y = w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` w)))
8	5, 7	imbi12d 624	. 2 |- (y = w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. w -> (F` z) e. (F` w))))
9		eleq2 1527	. . 3 |- (y = suc w -> (z e. y <-> z e. suc w))
10		fveq2 3709	. . . 4 |- (y = suc w -> (F` y) = (F` suc w))
11	10	eleq2d 1533	. . 3 |- (y = suc w -> ((F` z) e. (F` y) <-> (F` z) e. (F` suc w)))
12	9, 11	imbi12d 624	. 2 |- (y = suc w -> ((z e. y -> (F` z) e. (F` y)) <-> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w))))
13		noel 2274	. . . 4 |- -. z e. (/)
14	13	pm2.21i 77	. . 3 |- (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/)))
15	14	a1i 8	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. (/) -> (F` z) e. (F` (/))))
16		fveq2 3709	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = w -> (F` x) = (F` w))
17		suceq 3024	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = w -> suc x = suc w)
18	17	fveq2d 3713	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = w -> (F` suc x) = (F` suc w))
19	16, 18	eleq12d 1534	. . . . . . . . . . 11 |- (x = w -> ((F` x) e. (F` suc x) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
20	19	rcla4cva 1867	. . . . . . . . . 10 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
21	20	adantll 392	. . . . . . . . 9 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (F` w) e. (F` suc w))
22		ssel 2053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ On -> ((F` suc w) e. A -> (F` suc w) e. On))
23		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:om-->A /\ suc w e. om) -> (F` suc w) e. A)
24		peano2b 3137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. om <-> suc w e. om)
25	23, 24	sylan2b 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. A)
26	22, 25	syl5 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> (F` suc w) e. On))
27		ontr1 2993	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` suc w) e. On -> (((F` z) e. (F` w) /\ (F` w) e. (F` suc w)) -> (F` z) e. (F` suc w)))
28	27	exp3a 375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` z) e. (F` w) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
29	28	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` suc w) e. On -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
30	26, 29	syl6 22	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ On -> ((F:om-->A /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))))
31	30	exp3a 375	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ On -> (F:om-->A -> (w e. om -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))))
32	31	imp31 362	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
33	32	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` w) e. (F` suc w) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w))))
34	21, 33	mpd 26	. . . . . . . 8 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((F` z) e. (F` w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
35	34	imim2d 25	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w))))
36	35	imp 350	. . . . . 6 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. w -> (F` z) e. (F` suc w)))
37		fveq2 3709	. . . . . . . . . 10 |- (z = w -> (F` z) = (F` w))
38	37	eleq1d 1532	. . . . . . . . 9 |- (z = w -> ((F` z) e. (F` suc w) <-> (F` w) e. (F` suc w)))
39	38, 20	syl5cbir 211	. . . . . . . 8 |- ((A.x e. om (F` x) e. (F` suc x) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
40	39	adantll 392	. . . . . . 7 |- ((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
41	40	adantr 389	. . . . . 6 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z = w -> (F` z) e. (F` suc w)))
42	36, 41	jaod 424	. . . . 5 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> ((z e. w \/ z = w) -> (F` z) e. (F` suc w)))
43		visset 1804	. . . . . 6 |- z e. V
44	43	elsuc 3028	. . . . 5 |- (z e. suc w <-> (z e. w \/ z = w))
45	42, 44	syl5ib 206	. . . 4 |- (((((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) /\ w e. om) /\ (z e. w -> (F` z) e. (F` w))) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))
46	45	exp31 376	. . 3 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (w e. om -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
47	46	com12 11	. 2 |- (w e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> ((z e. w -> (F` z) e. (F` w)) -> (z e. suc w -> (F` z) e. (F` suc w)))))
48	4, 8, 12, 15, 47	finds2 3148	1 |- (y e. om -> (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.x e. om (F` x) e. (F` suc x)) -> (z e. y -> (F` z) e. (F` y))))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222