Theorem omsdomnn 4509

Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. Here we use A ~<_ om /\ -. om ~~ A instead of A ~< om because, due to a peculiarity ultimately caused our ordered pair definition, we would need the Axiom of infinity (which we have avoided up to now) in order to prove the latter.

Assertion

Ref	Expression
omsdomnn	|- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Proof of Theorem omsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 3131	. . . 4 |- Ord om
2		ordelss 2954	. . . 4 |- ((Ord om /\ A e. om) -> A (_ om)
3	1, 2	mpan 693	. . 3 |- (A e. om -> A (_ om)
4		ssdomg 4389	. . 3 |- (A e. om -> (A (_ om -> A ~<_ om))
5	3, 4	mpd 26	. 2 |- (A e. om -> A ~<_ om)
6		breq2 2613	. . . 4 |- (x = A -> (om ~~ x <-> om ~~ A))
7	6	negbid 609	. . 3 |- (x = A -> (-. om ~~ x <-> -. om ~~ A))
8		ominf 4508	. . . 4 |- -. E.x e. om om ~~ x
9		ralnex 1645	. . . 4 |- (A.x e. om -. om ~~ x <-> -. E.x e. om om ~~ x)
10	8, 9	mpbir 190	. . 3 |- A.x e. om -. om ~~ x
11	7, 10	vtoclri 1850	. 2 |- (A e. om -> -. om ~~ A)
12	5, 11	jca 288	1 |- (A e. om -> (A ~<_ om /\ -. om ~~ A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  Ord word 2937  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  isfinite1 4510  infsdomnn 4511  nnsdom 4607  infunabs 7508  infcdaabs 7509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain