Theorem omlsi 9160

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	|- A e. CH
omlsi.2	|- B e. SH
omlsi.3	|- A (_ B
omlsi.4	|- (B i^i (_|_` A)) = 0H

Assertion

Ref	Expression
omlsi	|- A = B

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 |- A (_ B
2		omlsi.2	. . . . . 6 |- B e. SH
3	2	shel 9003	. . . . 5 |- (x e. B -> x e. H~)
4		omlsi.1	. . . . . 6 |- A e. CH
5		pjtht 9149	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ x e. H~) -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
6	4, 5	mpan 693	. . . . 5 |- (x e. H~ -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
7	3, 6	syl 10	. . . 4 |- (x e. B -> E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z))
8		eqeq1 1473	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> (x = (y +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (y +h z)))
9		eleq1 1526	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> (x e. A <-> if(x e. B, x, 0h) e. A))
10	8, 9	imbi12d 624	. . . . . . . 8 |- (x = if(x e. B, x, 0h) -> ((x = (y +h z) -> x e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
11		opreq1 3953	. . . . . . . . . 10 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> (y +h z) = (if(y e. A, y, 0h) +h z))
12	11	eqeq2d 1478	. . . . . . . . 9 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> (if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z)))
13	12	imbi1d 611	. . . . . . . 8 |- (y = if(y e. A, y, 0h) -> ((if(x e. B, x, 0h) = (y +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
14		opreq2 3954	. . . . . . . . . 10 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> (if(y e. A, y, 0h) +h z) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)))
15	14	eqeq2d 1478	. . . . . . . . 9 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) <-> if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h))))
16	15	imbi1d 611	. . . . . . . 8 |- (z = if(z e. (_|_` A), z, 0h) -> ((if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h z) -> if(x e. B, x, 0h) e. A) <-> (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)))
17	4	chshi 9018	. . . . . . . . 9 |- A e. SH
18		omlsi.4	. . . . . . . . 9 |- (B i^i (_|_` A)) = 0H
19		sh0 9005	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. SH -> 0h e. B)
20	2, 19	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. B
21	20	elimel 2384	. . . . . . . . 9 |- if(x e. B, x, 0h) e. B
22		ch0 9019	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CH -> 0h e. A)
23	4, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. A
24	23	elimel 2384	. . . . . . . . 9 |- if(y e. A, y, 0h) e. A
25		shocsh 9073	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. SH -> (_|_` A) e. SH)
26	17, 25	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (_|_` A) e. SH
27		sh0 9005	. . . . . . . . . . 11 |- ((_|_` A) e. SH -> 0h e. (_|_` A))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- 0h e. (_|_` A)
29	28	elimel 2384	. . . . . . . . 9 |- if(z e. (_|_` A), z, 0h) e. (_|_` A)
30	17, 2, 1, 18, 21, 24, 29	omlsilem 9159	. . . . . . . 8 |- (if(x e. B, x, 0h) = (if(y e. A, y, 0h) +h if(z e. (_|_` A), z, 0h)) -> if(x e. B, x, 0h) e. A)
31	10, 13, 16, 30	dedth3h 2378	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. A /\ z e. (_|_` A)) -> (x = (y +h z) -> x e. A))
32	31	3expia 833	. . . . . 6 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (z e. (_|_` A) -> (x = (y +h z) -> x e. A)))
33	32	r19.23adv 1738	. . . . 5 |- ((x e. B /\ y e. A) -> (E.z e. (_|_` A)x = (y +h z) -> x e. A))
34	33	r19.23adva 1739	. . . 4 |- (x e. B -> (E.y e. A E.z e. (_|_` A)x = (y +h z) -> x e. A))
35	7, 34	mpd 26	. . 3 |- (x e. B -> x e. A)
36	35	ssriv 2059	. 2 |- B (_ A
37	1, 36	eqssi 2068	1 |- A = B

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638   i^i cin 2036   (_ wss 2037  ifcif 2351  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730  SHcsh 8736  CHcch 8737  _|_cort 8738  0Hc0h 8743

This theorem is referenced by:  omls 9161  ococ 9162  qlaxr3 9494  hatomistic 10197

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046

Copyright terms: Public domain