Theorem ominf 4508

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. E.x e. om om ~~ x

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2613	. . . 4 |- (x = y -> (om ~~ x <-> om ~~ y))
2	1	cbvrexv 1792	. . 3 |- (E.x e. om om ~~ x <-> E.y e. om om ~~ y)
3		pssinf 4507	. . . . 5 |- ((y (. om /\ y ~~ om) -> -. E.x e. om om ~~ x)
4		nnord 3130	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> Ord y)
5		ordom 3131	. . . . . . . . 9 |- Ord om
6	4, 5	jctir 293	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> (Ord y /\ Ord om))
7		ordelssne 2964	. . . . . . . 8 |- ((Ord y /\ Ord om) -> (y e. om <-> (y (_ om /\ y =/= om)))
8	6, 7	syl 10	. . . . . . 7 |- (y e. om -> (y e. om <-> (y (_ om /\ y =/= om)))
9	8	ibi 590	. . . . . 6 |- (y e. om -> (y (_ om /\ y =/= om))
10		df-pss 2045	. . . . . 6 |- (y (. om <-> (y (_ om /\ y =/= om))
11	9, 10	sylibr 200	. . . . 5 |- (y e. om -> y (. om)
12		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
13	12	ensym 4393	. . . . 5 |- (om ~~ y -> y ~~ om)
14	3, 11, 13	syl2an 454	. . . 4 |- ((y e. om /\ om ~~ y) -> -. E.x e. om om ~~ x)
15	14	r19.23aiva 1736	. . 3 |- (E.y e. om om ~~ y -> -. E.x e. om om ~~ x)
16	2, 15	sylbi 199	. 2 |- (E.x e. om om ~~ x -> -. E.x e. om om ~~ x)
17		pm2.01 88	. 2 |- ((E.x e. om om ~~ x -> -. E.x e. om om ~~ x) -> -. E.x e. om om ~~ x)
18	16, 17	ax-mp 7	1 |- -. E.x e. om om ~~ x

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638   (_ wss 2037   (. wpss 2038   class class class wbr 2609  Ord word 2937  omcom 3121   ~~ cen 4348

This theorem is referenced by:  omsdomnn 4509

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353

Copyright terms: Public domain