Theorem om2uzuz 6298

Description: The value G (see om2uz0 6296) at an ordinal natural number is in the upper integers.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzuz	|- (A e. om -> (G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z})

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   z,A   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3730	. . 3 |- (v = (/) -> (G` v) = (G` (/)))
2	1	eleq1d 1543	. 2 |- (v = (/) -> ((G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (G` (/)) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
3		fveq2 3730	. . 3 |- (v = w -> (G` v) = (G` w))
4	3	eleq1d 1543	. 2 |- (v = w -> ((G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
5		fveq2 3730	. . 3 |- (v = suc w -> (G` v) = (G` suc w))
6	5	eleq1d 1543	. 2 |- (v = suc w -> ((G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (G` suc w) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
7		fveq2 3730	. . 3 |- (v = A -> (G` v) = (G` A))
8	7	eleq1d 1543	. 2 |- (v = A -> ((G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
9		om2uz.1	. . . 4 |- C e. ZZ
10		om2uz.2	. . . 4 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
11	9, 10	om2uz0 6296	. . 3 |- (G` (/)) = C
12		breq2 2628	. . . . 5 |- (z = C -> (C <_ z <-> C <_ C))
13	12	elrab 1908	. . . 4 |- (C e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (C e. ZZ /\ C <_ C))
14	9	zre 6143	. . . . 5 |- C e. RR
15	14	leid 5622	. . . 4 |- C <_ C
16	13, 9, 15	mpbir2an 732	. . 3 |- C e. {z e. ZZ | C <_ z}
17	11, 16	eqeltr 1547	. 2 |- (G` (/)) e. {z e. ZZ | C <_ z}
18	9, 10	om2uzsuc 6297	. . . 4 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
19	18	eleq1d 1543	. . 3 |- (w e. om -> ((G` suc w) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> ((G` w) + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
20		peano2uz2 6203	. . . 4 |- ((C e. ZZ /\ (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z}) -> ((G` w) + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z})
21	9, 20	mpan 697	. . 3 |- ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((G` w) + 1) e. {z e. ZZ | C <_ z})
22	19, 21	syl5bir 210	. 2 |- (w e. om -> ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` suc w) e. {z e. ZZ | C <_ z}))
23	2, 4, 6, 8, 17, 22	finds 3162	1 |- (A e. om -> (G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  {crab 1651  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  {copab 2671  suc csuc 2956  omcom 3137   |` cres 3178  ` cfv 3188  reccrdg 3937  (class class class)co 3969  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  ZZcz 5310

This theorem is referenced by:  om2uzlt 6299  om2uzlt2 6300  om2uzran 6301  om2uzf1o 6302  unbenlem 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138

Copyright terms: Public domain