Theorem om2uzran 6237

Description: Range of G (see om2uz0 6232).

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzran	|- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzran

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 3936	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om
2		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3		fneq1 3568	. . . . . . 7 |- (G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) -> (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om)
5	1, 4	mpbir 190	. . . . 5 |- G Fn om
6		fvelrnb 3745	. . . . 5 |- (G Fn om -> (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- (u e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = u)
8		eleq1 1526	. . . . . 6 |- ((G` w) = u -> ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
9		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
10	9, 2	om2uzuz 6234	. . . . . 6 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
11	8, 10	syl5cbi 209	. . . . 5 |- (w e. om -> ((G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z}))
12	11	r19.23aiv 1735	. . . 4 |- (E.w e. om (G` w) = u -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
13	7, 12	sylbi 199	. . 3 |- (u e. ran G -> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
14		breq2 2613	. . . . 5 |- (z = u -> (C <_ z <-> C <_ u))
15	14	elrab 1896	. . . 4 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> (u e. ZZ /\ C <_ u))
16		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (w = C -> (w e. ran G <-> C e. ran G))
17		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (w = v -> (w e. ran G <-> v e. ran G))
18		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (w = (v + 1) -> (w e. ran G <-> (v + 1) e. ran G))
19		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (w = u -> (w e. ran G <-> u e. ran G))
20	9, 2	om2uz0 6232	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) = C
21		peano1 3139	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
22		fnfvelrn 3798	. . . . . . . . 9 |- ((G Fn om /\ (/) e. om) -> (G` (/)) e. ran G)
23	5, 21, 22	mp2an 695	. . . . . . . 8 |- (G` (/)) e. ran G
24	20, 23	eqeltrr 1537	. . . . . . 7 |- C e. ran G
25	24	a1i 8	. . . . . 6 |- (C e. ZZ -> C e. ran G)
26		fvelrnb 3745	. . . . . . . . 9 |- (G Fn om -> (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v))
27	5, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (v e. ran G <-> E.w e. om (G` w) = v)
28	9, 2	om2uzsuc 6233	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) = ((G` w) + 1))
29		opreq1 3953	. . . . . . . . . . 11 |- ((G` w) = v -> ((G` w) + 1) = (v + 1))
30	28, 29	sylan9eq 1519	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) = (v + 1))
31		peano2 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. om -> suc w e. om)
32		fnfvelrn 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((G Fn om /\ suc w e. om) -> (G` suc w) e. ran G)
33	5, 32	mpan 693	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
34	31, 33	syl 10	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. om -> (G` suc w) e. ran G)
35	34	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (G` suc w) e. ran G)
36	30, 35	eqeltrrd 1541	. . . . . . . . 9 |- ((w e. om /\ (G` w) = v) -> (v + 1) e. ran G)
37	36	r19.23aiva 1736	. . . . . . . 8 |- (E.w e. om (G` w) = v -> (v + 1) e. ran G)
38	27, 37	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G)
39	38	a1i 8	. . . . . 6 |- ((C e. ZZ /\ v e. ZZ /\ C <_ v) -> (v e. ran G -> (v + 1) e. ran G))
40	16, 17, 18, 19, 25, 39	uzind 6153	. . . . 5 |- ((C e. ZZ /\ u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
41	9, 40	mp3an1 900	. . . 4 |- ((u e. ZZ /\ C <_ u) -> u e. ran G)
42	15, 41	sylbi 199	. . 3 |- (u e. {z e. ZZ | C <_ z} -> u e. ran G)
43	13, 42	impbi 157	. 2 |- (u e. ran G <-> u e. {z e. ZZ | C <_ z})
44	43	eqriv 1467	1 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wrex 1638  {crab 1640  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  {copab 2656  suc csuc 2940  omcom 3121  ran crn 3161   |` cres 3162   Fn wfn 3167  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948  1c1 5207   + caddc 5209   <_ cle 5267  ZZcz 5270

This theorem is referenced by:  om2uzf1o 6238  uzrdgval 6239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083

Copyright terms: Public domain