Theorem om2uzf1o 6246

Description: G (see om2uz0 6240) is a one-to-one onto mapping.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzf1o	|- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}

Distinct variable groups:   x,y,z   z,G   x,C,y,z

Proof of Theorem om2uzf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o5 3688	. 2 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} <-> (G:om-1-1->{z e. ZZ | C <_ z} /\ ran G = {z e. ZZ | C <_ z}))
2		f1fv 3865	. . 3 |- (G:om-1-1->{z e. ZZ | C <_ z} <-> (G:om-->{z e. ZZ | C <_ z} /\ A.w e. om A.v e. om ((G` w) = (G` v) -> w = v)))
3		df-f 3189	. . . 4 |- (G:om-->{z e. ZZ | C <_ z} <-> (G Fn om /\ ran G (_ {z e. ZZ | C <_ z}))
4		frfnom 3942	. . . . 5 |- (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om
5		om2uz.2	. . . . . 6 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
6		fneq1 3574	. . . . . 6 |- (G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) -> (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om))
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (G Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om) Fn om)
8	4, 7	mpbir 190	. . . 4 |- G Fn om
9		om2uz.1	. . . . . 6 |- C e. ZZ
10	9, 5	om2uzran 6245	. . . . 5 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}
11	10	eqimssi 2107	. . . 4 |- ran G (_ {z e. ZZ | C <_ z}
12	3, 8, 11	mpbir2an 729	. . 3 |- G:om-->{z e. ZZ | C <_ z}
13		lttri3t 5494	. . . . . . 7 |- (((G` w) e. RR /\ (G` v) e. RR) -> ((G` w) = (G` v) <-> (-. (G` w) < (G` v) /\ -. (G` v) < (G` w))))
14	9, 5	om2uzuz 6242	. . . . . . . 8 |- (w e. om -> (G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z})
15		ssrab2 2127	. . . . . . . . 9 |- {z e. ZZ | C <_ z} (_ ZZ
16	15	sseli 2061	. . . . . . . 8 |- ((G` w) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` w) e. ZZ)
17		zret 6094	. . . . . . . 8 |- ((G` w) e. ZZ -> (G` w) e. RR)
18	14, 16, 17	3syl 20	. . . . . . 7 |- (w e. om -> (G` w) e. RR)
19	9, 5	om2uzuz 6242	. . . . . . . 8 |- (v e. om -> (G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z})
20	15	sseli 2061	. . . . . . . 8 |- ((G` v) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` v) e. ZZ)
21		zret 6094	. . . . . . . 8 |- ((G` v) e. ZZ -> (G` v) e. RR)
22	19, 20, 21	3syl 20	. . . . . . 7 |- (v e. om -> (G` v) e. RR)
23	13, 18, 22	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((w e. om /\ v e. om) -> ((G` w) = (G` v) <-> (-. (G` w) < (G` v) /\ -. (G` v) < (G` w))))
24		ioran 306	. . . . . 6 |- (-. ((G` w) < (G` v) \/ (G` v) < (G` w)) <-> (-. (G` w) < (G` v) /\ -. (G` v) < (G` w)))
25	23, 24	syl6bbr 537	. . . . 5 |- ((w e. om /\ v e. om) -> ((G` w) = (G` v) <-> -. ((G` w) < (G` v) \/ (G` v) < (G` w))))
26		ordtri3 2978	. . . . . . . . 9 |- ((Ord w /\ Ord v) -> (w = v <-> -. (w e. v \/ v e. w)))
27		nnord 3135	. . . . . . . . 9 |- (w e. om -> Ord w)
28		nnord 3135	. . . . . . . . 9 |- (v e. om -> Ord v)
29	26, 27, 28	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((w e. om /\ v e. om) -> (w = v <-> -. (w e. v \/ v e. w)))
30	29	con2bid 525	. . . . . . 7 |- ((w e. om /\ v e. om) -> ((w e. v \/ v e. w) <-> -. w = v))
31	9, 5	om2uzlt 6243	. . . . . . . 8 |- ((w e. om /\ v e. om) -> (w e. v -> (G` w) < (G` v)))
32	9, 5	om2uzlt 6243	. . . . . . . . 9 |- ((v e. om /\ w e. om) -> (v e. w -> (G` v) < (G` w)))
33	32	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((w e. om /\ v e. om) -> (v e. w -> (G` v) < (G` w)))
34	31, 33	orim12d 564	. . . . . . 7 |- ((w e. om /\ v e. om) -> ((w e. v \/ v e. w) -> ((G` w) < (G` v) \/ (G` v) < (G` w))))
35	30, 34	sylbird 205	. . . . . 6 |- ((w e. om /\ v e. om) -> (-. w = v -> ((G` w) < (G` v) \/ (G` v) < (G` w))))
36	35	con1d 93	. . . . 5 |- ((w e. om /\ v e. om) -> (-. ((G` w) < (G` v) \/ (G` v) < (G` w)) -> w = v))
37	25, 36	sylbid 203	. . . 4 |- ((w e. om /\ v e. om) -> ((G` w) = (G` v) -> w = v))
38	37	rgen2a 1696	. . 3 |- A.w e. om A.v e. om ((G` w) = (G` v) -> w = v)
39	2, 12, 38	mpbir2an 729	. 2 |- G:om-1-1->{z e. ZZ | C <_ z}
40	1, 39, 10	mpbir2an 729	1 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  {crab 1645   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  {copab 2661  Ord word 2942  omcom 3126  ran crn 3166   |` cres 3167   Fn wfn 3172  -->wf 3173  -1-1->wf1 3174  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177  reccrdg 3922  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278   < clt 5466

This theorem is referenced by:  uzrdgval 6247  uzrdgini 6248  uzrdgsuc 6249  uzrdgfnuz 6251  nnenom 7448  unbenlem 7455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain