Theorem om0r 4164

Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om0r	|- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Proof of Theorem om0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3960	. . 3 |- (x = (/) -> ((/) .o x) = ((/) .o (/)))
2	1	eqeq1d 1480	. 2 |- (x = (/) -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o (/)) = (/)))
3		opreq2 3960	. . 3 |- (x = y -> ((/) .o x) = ((/) .o y))
4	3	eqeq1d 1480	. 2 |- (x = y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o y) = (/)))
5		opreq2 3960	. . 3 |- (x = suc y -> ((/) .o x) = ((/) .o suc y))
6	5	eqeq1d 1480	. 2 |- (x = suc y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o suc y) = (/)))
7		opreq2 3960	. . 3 |- (x = A -> ((/) .o x) = ((/) .o A))
8	7	eqeq1d 1480	. 2 |- (x = A -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o A) = (/)))
9		0elon 3017	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 4146	. . 3 |- ((/) e. On -> ((/) .o (/)) = (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- ((/) .o (/)) = (/)
12		omsuc 4155	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ y e. On) -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
13	9, 12	mpan 694	. . . 4 |- (y e. On -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
14		oa0 4145	. . . . . . 7 |- ((/) e. On -> ((/) +o (/)) = (/))
15	9, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((/) +o (/)) = (/)
16	15	eqcomi 1476	. . . . 5 |- (/) = ((/) +o (/))
17	16	a1i 8	. . . 4 |- (y e. On -> (/) = ((/) +o (/)))
18	13, 17	eqeq12d 1486	. . 3 |- (y e. On -> (((/) .o suc y) = (/) <-> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/))))
19		opreq1 3959	. . 3 |- (((/) .o y) = (/) -> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/)))
20	18, 19	syl5bir 210	. 2 |- (y e. On -> (((/) .o y) = (/) -> ((/) .o suc y) = (/)))
21		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
22		omlim 4158	. . . . . 6 |- (((/) e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
23	9, 22	mpan 694	. . . . 5 |- ((x e. V /\ Lim x) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
24	21, 23	mpan 694	. . . 4 |- (Lim x -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
25	24	eqeq1d 1480	. . 3 |- (Lim x -> (((/) .o x) = (/) <-> U_y e. x ((/) .o y) = (/)))
26		iuneq2 2573	. . . 4 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = U_y e. x (/))
27		iun0 2599	. . . 4 |- U_y e. x (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 1520	. . 3 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = (/))
29	25, 28	syl5bir 210	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> ((/) .o x) = (/)))
30	2, 4, 6, 8, 11, 20, 29	tfinds 3156	1 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807  (/)c0 2276  U_ciun 2561  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  suc csuc 2945  (class class class)co 3954   +o coa 4120   .o comu 4121

This theorem is referenced by:  omord 4189  omwordi 4192  om00 4196  odi 4200  omass 4201  nnm0r 4218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-oadd 4125  df-omul 4126

Copyright terms: Public domain