Theorem om0 4140

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
om0	|- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Proof of Theorem om0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3012	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 4135	. . 3 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
3	1, 2	mpan2 694	. 2 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
4		0ex 2701	. . 3 |- (/) e. V
5	4	rdg0 3926	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)) = (/)
6	3, 5	syl6eq 1515	1 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  {copab 2656  Oncon0 2938  ` cfv 3172  reccrdg 3916  (class class class)co 3948   +o coa 4114   .o comu 4115

This theorem is referenced by:  om0x 4142  oesuc 4150  omcl 4155  om0r 4158  om1 4160  om1r 4161  omwordri 4187  om00 4190  odi 4194  omass 4195  oen0 4197  nnm0 4208  nneob 4239

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-omul 4120

Copyright terms: Public domain