Theorem oe0m1 4166

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	|- (A e. On -> ((/) e. A <-> ((/) ^o A) = (/)))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 2964	. . 3 |- (A e. On -> Ord A)
2		ordgt0ge1 4150	. . 3 |- (Ord A -> ((/) e. A <-> 1o (_ A))
3	1, 2	syl 10	. 2 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> 1o (_ A))
4		oe0m 4163	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) ^o A) = (1o \ A))
5	4	eqeq1d 1486	. . 3 |- (A e. On -> (((/) ^o A) = (/) <-> (1o \ A) = (/)))
6		ssdif0 2331	. . 3 |- (1o (_ A <-> (1o \ A) = (/))
7	5, 6	syl6rbbr 541	. 2 |- (A e. On -> (1o (_ A <-> ((/) ^o A) = (/)))
8	3, 7	bitrd 530	1 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> ((/) ^o A) = (/)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960   \ cdif 2047   (_ wss 2050  (/)c0 2283  Ord word 2953  Oncon0 2954  (class class class)co 3969  1oc1o 4134   ^o coe 4138

This theorem is referenced by:  oev2 4168  oesuc 4172  oecl 4178  oewordri 4225  oelim2 4228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1o 4139  df-oexp 4143

Copyright terms: Public domain