Theorem oe0m 4157

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa.

Assertion

Ref	Expression
oe0m	|- (A e. On -> ((/) ^o A) = (1o \ A))

Proof of Theorem oe0m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3022	. . 3 |- (/) e. On
2		oev 4153	. . 3 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) ^o A) = if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)))
3	1, 2	mpan 695	. 2 |- (A e. On -> ((/) ^o A) = if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)))
4		eqid 1475	. . 3 |- (/) = (/)
5		iftrue 2366	. . 3 |- ((/) = (/) -> if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)) = (1o \ A))
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- if((/) = (/), (1o \ A), (rec({<.x, y>. | y = (x .o (/))}, 1o)` A)) = (1o \ A)
7	3, 6	syl6eq 1523	1 |- (A e. On -> ((/) ^o A) = (1o \ A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958   \ cdif 2044  (/)c0 2280  ifcif 2361  {copab 2666  Oncon0 2948  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   .o comu 4131   ^o coe 4132

This theorem is referenced by:  oe0m0 4159  oe0m1 4160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oexp 4137

Copyright terms: Public domain