Theorem ocvalt 9148

Description: Value of orthogonal complement of a subset of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
ocvalt	|- (H (_ H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})

Distinct variable group:   x,y,H

Proof of Theorem ocvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8864	. . 3 |- H~ e. V
2	1	elpw2 2733	. 2 |- (H e. P~H~ <-> H (_ H~)
3		raleq1 1789	. . . 4 |- (z = H -> (A.y e. z (x .ih y) = 0 <-> A.y e. H (x .ih y) = 0))
4	3	rabbisdv 1810	. . 3 |- (z = H -> {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0} = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})
5		df-oc 9119	. . . 4 |- _|_ = {<.z, w>. | (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
6	1	elpw2 2733	. . . . . 6 |- (z e. P~H~ <-> z (_ H~)
7	6	anbi1i 483	. . . . 5 |- ((z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0}) <-> (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0}))
8	7	opabbii 2676	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})} = {<.z, w>. | (z (_ H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
9	5, 8	eqtr4 1501	. . 3 |- _|_ = {<.z, w>. | (z e. P~H~ /\ w = {x e. H~ | A.y e. z (x .ih y) = 0})}
10	1	rabex 2730	. . 3 |- {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0} e. V
11	4, 9, 10	fvopab4 3786	. 2 |- (H e. P~H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})
12	2, 11	sylbir 201	1 |- (H (_ H~ -> (_|_` H) = {x e. H~ | A.y e. H (x .ih y) = 0})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {crab 1651   (_ wss 2050  P~cpw 2405  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  0cc0 5246  H~chil 8783   .ih csp 8788  _|_cort 8794

This theorem is referenced by:  ocelt 9149  ocsh 9151  occont 9155  chocval 9166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-oc 9119

Copyright terms: Public domain