Theorem ocin 9169

Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
ocin	|- (A e. SH -> (A i^i (_|_` A)) = 0H)

Proof of Theorem ocin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocelt 9155	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> (x e. (_|_` A) <-> (x e. H~ /\ A.y e. A (x .ih y) = 0)))
2		opreq2 3969	. . . . . . . . . 10 |- (y = x -> (x .ih y) = (x .ih x))
3	2	eqeq1d 1483	. . . . . . . . 9 |- (y = x -> ((x .ih y) = 0 <-> (x .ih x) = 0))
4	3	rcla4cv 1874	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A (x .ih y) = 0 -> (x e. A -> (x .ih x) = 0))
5		his6t 8965	. . . . . . . . 9 |- (x e. H~ -> ((x .ih x) = 0 <-> x = 0h))
6	5	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- (x e. H~ -> ((x .ih x) = 0 -> x = 0h))
7	4, 6	sylan9r 469	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ A.y e. A (x .ih y) = 0) -> (x e. A -> x = 0h))
8	1, 7	syl6bi 214	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. (_|_` A) -> (x e. A -> x = 0h)))
9	8	com23 32	. . . . 5 |- (A e. SH -> (x e. A -> (x e. (_|_` A) -> x = 0h)))
10	9	imp3a 361	. . . 4 |- (A e. SH -> ((x e. A /\ x e. (_|_` A)) -> x = 0h))
11		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = 0h -> (x e. A <-> 0h e. A))
12		eleq1 1534	. . . . . 6 |- (x = 0h -> (x e. (_|_` A) <-> 0h e. (_|_` A)))
13	11, 12	anbi12d 628	. . . . 5 |- (x = 0h -> ((x e. A /\ x e. (_|_` A)) <-> (0h e. A /\ 0h e. (_|_` A))))
14		sh0 9084	. . . . . 6 |- (A e. SH -> 0h e. A)
15		oc0 9163	. . . . . 6 |- (A e. SH -> 0h e. (_|_` A))
16	14, 15	jca 288	. . . . 5 |- (A e. SH -> (0h e. A /\ 0h e. (_|_` A)))
17	13, 16	syl5cbir 211	. . . 4 |- (A e. SH -> (x = 0h -> (x e. A /\ x e. (_|_` A))))
18	10, 17	impbid 516	. . 3 |- (A e. SH -> ((x e. A /\ x e. (_|_` A)) <-> x = 0h))
19		elin 2207	. . 3 |- (x e. (A i^i (_|_` A)) <-> (x e. A /\ x e. (_|_` A)))
20		elch0 9126	. . 3 |- (x e. 0H <-> x = 0h)
21	18, 19, 20	3bitr4g 555	. 2 |- (A e. SH -> (x e. (A i^i (_|_` A)) <-> x e. 0H))
22	21	eqrdv 1473	1 |- (A e. SH -> (A i^i (_|_` A)) = 0H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   i^i cin 2046  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  H~chil 8788  0hc0v 8791   .ih csp 8793  SHcsh 8797  _|_cort 8799  0Hc0h 8804

This theorem is referenced by:  ocnelt 9170  chocuni 9172  omls 9246  ococ 9247  pjoc1 9264  orthin 9370  chocin 9377

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-sh 9076  df-oc 9124  df-ch0 9125

Copyright terms: Public domain