Theorem ocelt 9154

Description: Membership in orthogonal complement of H subset.

Assertion

Ref	Expression
ocelt	|- (H (_ H~ -> (A e. (_|_` H) <-> (A e. H~ /\ A.x e. H (A .ih x) = 0)))

Distinct variable groups:   x,H   x,A

Proof of Theorem ocelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvalt 9153	. . 3 |- (H (_ H~ -> (_|_` H) = {y e. H~ | A.x e. H (y .ih x) = 0})
2	1	eleq2d 1541	. 2 |- (H (_ H~ -> (A e. (_|_` H) <-> A e. {y e. H~ | A.x e. H (y .ih x) = 0}))
3		opreq1 3968	. . . . 5 |- (y = A -> (y .ih x) = (A .ih x))
4	3	eqeq1d 1483	. . . 4 |- (y = A -> ((y .ih x) = 0 <-> (A .ih x) = 0))
5	4	ralbidv 1663	. . 3 |- (y = A -> (A.x e. H (y .ih x) = 0 <-> A.x e. H (A .ih x) = 0))
6	5	elrab 1905	. 2 |- (A e. {y e. H~ | A.x e. H (y .ih x) = 0} <-> (A e. H~ /\ A.x e. H (A .ih x) = 0))
7	2, 6	syl6bb 536	1 |- (H (_ H~ -> (A e. (_|_` H) <-> (A e. H~ /\ A.x e. H (A .ih x) = 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  {crab 1648   (_ wss 2047  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234  H~chil 8788   .ih csp 8793  _|_cort 8799

This theorem is referenced by:  shocelt 9155  ocsh 9156  ocorth 9164  ococss 9166  occl 9181  chocnul 9292  h1deot 9472  h1det 9473  hmopidmpj 10080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oc 9124

Copyright terms: Public domain