Theorem occllem8 9263

Description: Lemma for closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107.

Hypothesis

Ref	Expression
occllem8.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
occllem8	|- ((A e. H~ /\ S e. H~) -> ((F ~~>v A /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) -> (A .ih S) = 0))

Distinct variable groups:   x,F   x,S

Proof of Theorem occllem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2678	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (F ~~>v A <-> F ~~>v if(A e. H~, A, 0h)))
2	1	anbi1d 628	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((F ~~>v A /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) <-> (F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0)))
3		opreq1 4026	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A .ih S) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih S))
4	3	eqeq1d 1530	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A .ih S) = 0 <-> (if(A e. H~, A, 0h) .ih S) = 0))
5	2, 4	imbi12d 637	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((F ~~>v A /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) -> (A .ih S) = 0) <-> ((F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih S) = 0)))
6		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> ((F` x) .ih S) = ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)))
7	6	eqeq1d 1530	. . . . 5 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> (((F` x) .ih S) = 0 <-> ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0))
8	7	ralbidv 1710	. . . 4 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> (A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0 <-> A.x e. NN ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0))
9	8	anbi2d 627	. . 3 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> ((F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) <-> (F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0)))
10		opreq2 4027	. . . 4 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih S) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(S e. H~, S, 0h)))
11	10	eqeq1d 1530	. . 3 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih S) = 0 <-> (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0))
12	9, 11	imbi12d 637	. 2 |- (S = if(S e. H~, S, 0h) -> (((F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih S) = 0) <-> ((F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0)))
13		ax-hv0cl 8956	. . . 4 |- 0h e. H~
14	13	elimel 2446	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
15	13	elimel 2446	. . 3 |- if(S e. H~, S, 0h) e. H~
16		occllem8.1	. . 3 |- F e. V
17	14, 15, 16	occllem7 9262	. 2 |- ((F ~~>v if(A e. H~, A, 0h) /\ A.x e. NN ((F` x) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(S e. H~, S, 0h)) = 0)
18	5, 12, 17	dedth2h 2439	1 |- ((A e. H~ /\ S e. H~) -> ((F ~~>v A /\ A.x e. NN ((F` x) .ih S) = 0) -> (A .ih S) = 0))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692  Vcvv 1858  ifcif 2413   class class class wbr 2674  ` cfv 3239  (class class class)co 4021  0cc0 5299  NNcn 5361  H~chil 8871  0hc0v 8874   .ih csp 8876   ~~>v chli 8879

This theorem is referenced by:  occli 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806  ax-hilex 8952  ax-hfvadd 8953  ax-hvcom 8954  ax-hvass 8955  ax-hv0cl 8956  ax-hvaddid 8957  ax-hfvmul 8958  ax-hvmulid 8959  ax-hvmulass 8960  ax-hvdistr1 8961  ax-hvdistr2 8962  ax-hvmul0 8963  ax-hfi 9029  ax-his1 9032  ax-his2 9033  ax-his3 9034  ax-his4 9035

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-iin 2623  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-map 4385  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-sup 4634  df-r1 4705  df-rank 4706  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556  df-div 5768  df-n 5985  df-2 6031  df-3 6032  df-4 6033  df-n0 6182  df-z 6218  df-q 6308  df-fl 6335  df-ioo 6386  df-uz 6444  df-fz 6494  df-seq1 6567  df-shft 6600  df-seqz 6622  df-exp 6658  df-sqr 6760  df-re 6841  df-im 6842  df-cj 6843  df-abs 6844  df-clim 7065  df-sum 7070  df-top 7684  df-bases 7686  df-topgen 7687  df-cld 7748  df-ntr 7749  df-cls 7750  df-cn 7839  df-cnp 7840  df-haus 7867  df-met 7878  df-bl 7880  df-opn 7881  df-lm 8007  df-grp 8122  df-gid 8123  df-ginv 8124  df-gdiv 8125  df-abl 8184  df-vc 8249  df-nv 8295  df-va 8298  df-ba 8299  df-sm 8300  df-0v 8301  df-vs 8302  df-nm 8303  df-ims 8304  df-ip 8434  df-ph 8556  df-hnorm 8920  df-hvsub 8923  df-hlim 8924

Copyright terms: Public domain