Theorem oav 4150

Description: Value of ordinal addition.

Assertion

Ref	Expression
oav	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem oav

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B) e. V
2		rdgeq2 3935	. . 3 |- (w = A -> rec({<.x, y>. | y = suc x}, w) = rec({<.x, y>. | y = suc x}, A))
3	2	fveq1d 3726	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v))
4		fveq2 3724	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` v) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
5		df-oadd 4135	. 2 |- +o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, w)` v))}
6	1, 3, 4, 5	oprabval2 4028	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963   +o coa 4130

This theorem is referenced by:  oa0 4155  oasuc 4163  oalim 4167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain