Theorem oasuc 4163

Description: Addition with successor. Definition 8.1 of [TakeutiZaring] p. 56.

Assertion

Ref	Expression
oasuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Proof of Theorem oasuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3945	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
2	1	adantl 388	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
3		oav 4150	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
4		suceloni 3062	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 451	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` suc B))
6		oav 4150	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o B) = (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B))
7	6	fveq2d 3728	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
8		oprex 3983	. . . 4 |- (A +o B) e. V
9	8	sucex 3050	. . . 4 |- suc (A +o B) e. V
10		suceq 3034	. . . 4 |- (x = (A +o B) -> suc x = suc (A +o B))
11	8, 9, 10	fvopab 3790	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = suc x}` (A +o B)) = suc (A +o B)
12	7, 11	syl5eqr 1521	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> suc (A +o B) = ({<.x, y>. | y = suc x}` (rec({<.x, y>. | y = suc x}, A)` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1517	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A +o suc B) = suc (A +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963   +o coa 4130

This theorem is referenced by:  oa1suc 4164  oacl 4170  oa0r 4173  oaordi 4180  oawordri 4184  oawordeulem 4188  oalimcl 4194  oaass 4195  oarec 4196  odi 4210  nnasuc 4225  nnacom 4233  oaabs 4252

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135

Copyright terms: Public domain