Theorem oaord1 4169

Description: An ordinal is less than its sum with a non-zero ordinal. Theorem 18 of [Suppes] p. 209 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
oaord1	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B <-> A e. (A +o B)))

Proof of Theorem oaord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3012	. . . 4 |- (/) e. On
2		oaord 4165	. . . 4 |- (((/) e. On /\ B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. B <-> (A +o (/)) e. (A +o B)))
3	1, 2	mp3an1 900	. . 3 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. B <-> (A +o (/)) e. (A +o B)))
4		oa0 4139	. . . . 5 |- (A e. On -> (A +o (/)) = A)
5	4	adantl 388	. . . 4 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (A +o (/)) = A)
6	5	eleq1d 1532	. . 3 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((A +o (/)) e. (A +o B) <-> A e. (A +o B)))
7	3, 6	bitrd 526	. 2 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((/) e. B <-> A e. (A +o B)))
8	7	ancoms 436	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. B <-> A e. (A +o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  (/)c0 2270  Oncon0 2938  (class class class)co 3948   +o coa 4114

This theorem is referenced by:  oaordex 4176  omordi 4181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain