Theorem oancom 4605

Description: Ordinal addition is not commutative. This theorem shows a counterexample. Remark in [TakeutiZaring] p. 60.

Assertion

Ref	Expression
oancom	|- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Proof of Theorem oancom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 4601	. . . 4 |- om e. On
2		1onn 4237	. . . 4 |- 1o e. om
3		oaabslem 4235	. . . 4 |- ((om e. On /\ 1o e. om) -> (1o +o om) = om)
4	1, 2, 3	mp2an 695	. . 3 |- (1o +o om) = om
5		omex 4599	. . . . 5 |- om e. V
6	5	sucid 3041	. . . 4 |- om e. suc om
7		oa1suc 4148	. . . . 5 |- (om e. On -> (om +o 1o) = suc om)
8	1, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (om +o 1o) = suc om
9	6, 8	eleqtrr 1539	. . 3 |- om e. (om +o 1o)
10	4, 9	eqeltr 1536	. 2 |- (1o +o om) e. (om +o 1o)
11		1on 4122	. . . . 5 |- 1o e. On
12		oacl 4154	. . . . 5 |- ((1o e. On /\ om e. On) -> (1o +o om) e. On)
13	11, 1, 12	mp2an 695	. . . 4 |- (1o +o om) e. On
14		oacl 4154	. . . . 5 |- ((om e. On /\ 1o e. On) -> (om +o 1o) e. On)
15	1, 11, 14	mp2an 695	. . . 4 |- (om +o 1o) e. On
16		onelpsst 2988	. . . 4 |- (((1o +o om) e. On /\ (om +o 1o) e. On) -> ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o))))
17	13, 15, 16	mp2an 695	. . 3 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) <-> ((1o +o om) (_ (om +o 1o) /\ (1o +o om) =/= (om +o 1o)))
18	17	pm3.27bi 326	. 2 |- ((1o +o om) e. (om +o 1o) -> (1o +o om) =/= (om +o 1o))
19	10, 18	ax-mp 7	1 |- (1o +o om) =/= (om +o 1o)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   (_ wss 2037  Oncon0 2938  suc csuc 2940  omcom 3121  (class class class)co 3948  1oc1o 4112   +o coa 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1o 4117  df-oadd 4119

Copyright terms: Public domain