Theorem nvz0 8235

Description: The norm of a zero vector is zero.

Hypotheses

Ref	Expression
nvz0.5	|- Z = (0v` U)
nvz0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvz0	|- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nvz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . . 4 |- (Base` U) = (Base` U)
2		nvz0.5	. . . 4 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8195	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> Z e. (Base` U))
4		0re 5412	. . . . 5 |- 0 e. RR
5	4	leid 5584	. . . . 5 |- 0 <_ 0
6	4, 5	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. RR /\ 0 <_ 0)
7		eqid 1468	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
8		nvz0.6	. . . . 5 |- N = (norm` U)
9	1, 7, 8	nvsge0 8230	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (0 e. RR /\ 0 <_ 0) /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
10	6, 9	mp3an2 901	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
11	3, 10	mpdan 702	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (0 x. (N` Z)))
12	1, 7, 2	nv0 8198	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (0(.s` U)Z) = Z)
13	3, 12	mpdan 702	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (0(.s` U)Z) = Z)
14	13	fveq2d 3713	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0(.s` U)Z)) = (N` Z))
15	1, 8	nvcl 8227	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. RR)
16	15	recnd 5287	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ Z e. (Base` U)) -> (N` Z) e. CC)
17	3, 16	mpdan 702	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) e. CC)
18		mul02t 5416	. . 3 |- ((N` Z) e. CC -> (0 x. (N` Z)) = 0)
19	17, 18	syl 10	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (0 x. (N` Z)) = 0)
20	11, 14, 19	3eqtr3d 1507	1 |- (U e. NrmCVec -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   x. cmul 5211   <_ cle 5267  NrmCVeccnv 8141  Basecba 8143  .scns 8144  0vcn0v 8145  normcnm 8147

This theorem is referenced by:  nvz 8236  nvge0 8241  ipid 8297  nmosetn0 8360  nmo0 8383  nmlnoubi 8388  nmblolbii 8390  blocnilem 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157

Copyright terms: Public domain