Theorem nvsubadd 8271

Description: Relationship between vector subtraction and addition.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsubadd.1	|- X = (Base` U)
nvsubadd.2	|- G = (+v` U)
nvsubadd.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvsubadd	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AMB) = C <-> (BGC) = A))

Proof of Theorem nvsubadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvsubadd.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		nvsubadd.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
3		eqid 1478	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
4		nvsubadd.3	. . . . 5 |- M = (-v` U)
5	1, 2, 3, 4	nvmval 8259	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (AG(-u1(.s` U)B)))
6	5	3adant3r3 846	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AMB) = (AG(-u1(.s` U)B)))
7	6	eqeq1d 1486	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AMB) = C <-> (AG(-u1(.s` U)B)) = C))
8	1, 2	nvgcl 8235	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X) -> (AG(-u1(.s` U)B)) e. X)
9		ax1cn 5281	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
10	9	negcl 5381	. . . . . . . . . 10 |- -u1 e. CC
11	1, 3	nvscl 8243	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
12	10, 11	mp3an2 906	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
13	12	3adant2 800	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
14	8, 13	syld3an3 872	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AG(-u1(.s` U)B)) e. X)
15	14	3adant3r3 846	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (AG(-u1(.s` U)B)) e. X)
16		3simp3 792	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> C e. X)
17	16	adantl 390	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> C e. X)
18		3simp2 791	. . . . . . 7 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> B e. X)
19	18	adantl 390	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> B e. X)
20	15, 17, 19	3jca 821	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AG(-u1(.s` U)B)) e. X /\ C e. X /\ B e. X))
21	1, 2	nvlcan 8241	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ ((AG(-u1(.s` U)B)) e. X /\ C e. X /\ B e. X)) -> ((BG(AG(-u1(.s` U)B))) = (BGC) <-> (AG(-u1(.s` U)B)) = C))
22	20, 21	syldan 469	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((BG(AG(-u1(.s` U)B))) = (BGC) <-> (AG(-u1(.s` U)B)) = C))
23		simprr 417	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> B e. X)
24		simprl 416	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> A e. X)
25	12	adantrl 396	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
26	23, 24, 25	3jca 821	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (B e. X /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X))
27	1, 2	nvadd12 8238	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (B e. X /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X)) -> (BG(AG(-u1(.s` U)B))) = (AG(BG(-u1(.s` U)B))))
28	26, 27	syldan 469	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (BG(AG(-u1(.s` U)B))) = (AG(BG(-u1(.s` U)B))))
29		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (0v` U) = (0v` U)
30	1, 2, 3, 29	nvrinv 8269	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (BG(-u1(.s` U)B)) = (0v` U))
31	30	adantrl 396	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (BG(-u1(.s` U)B)) = (0v` U))
32	31	opreq2d 3982	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AG(BG(-u1(.s` U)B))) = (AG(0v` U)))
33	1, 2, 29	nv0rid 8252	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (AG(0v` U)) = A)
34	33	adantrr 397	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AG(0v` U)) = A)
35	28, 32, 34	3eqtrd 1514	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (BG(AG(-u1(.s` U)B))) = A)
36	35	3adantr3 810	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> (BG(AG(-u1(.s` U)B))) = A)
37	36	eqeq1d 1486	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((BG(AG(-u1(.s` U)B))) = (BGC) <-> A = (BGC)))
38	22, 37	bitr3d 532	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AG(-u1(.s` U)B)) = C <-> A = (BGC)))
39		eqcom 1480	. . 3 |- (A = (BGC) <-> (BGC) = A)
40	38, 39	syl6bb 538	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AG(-u1(.s` U)B)) = C <-> (BGC) = A))
41	7, 40	bitrd 530	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X /\ C e. X)) -> ((AMB) = C <-> (BGC) = A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  0vcn0v 8203  -vcnsb 8204

This theorem is referenced by:  nvsubsub23 8278  ubthlem8 8532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain