Theorem nvnncan 8223

Description: Cancellation law for a normed complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvsubsub23.1	|- X = (Base` U)
nvsubsub23.3	|- M = (-v` U)

Assertion

Ref	Expression
nvnncan	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = B)

Proof of Theorem nvnncan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvsubsub23.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1468	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
4		nvsubsub23.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
5	1, 2, 3, 4	nvmval 8203	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (AMB) e. X) -> (AM(AMB)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))))
6	1, 4	nvmcl 8207	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) e. X)
7	5, 6	syl3dan3 868	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))))
8	1, 2, 3	nvdi 8191	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X)) -> (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
9		3simp1 786	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> U e. NrmCVec)
10		ax1cn 5241	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
11	10	negcl 5341	. . . . . . . 8 |- -u1 e. CC
12	11	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> -u1 e. CC)
13		3simp2 787	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A e. X)
14	1, 3	nvscl 8187	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
15	11, 14	mp3an2 901	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
16	15	3adant2 796	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
17	12, 13, 16	3jca 817	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1 e. CC /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X))
18	8, 9, 17	sylanc 471	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
19	1, 2, 3, 4	nvmval 8203	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
20	19	opreq2d 3961	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(AMB)) = (-u1(.s` U)(A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
21	1, 3	nvsid 8188	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1(.s` U)B) = B)
22	10, 10	mul2neg 5419	. . . . . . . . . . 11 |- (-u1 x. -u1) = (1 x. 1)
23	10	mulid1 5304	. . . . . . . . . . 11 |- (1 x. 1) = 1
24	22, 23	eqtr 1487	. . . . . . . . . 10 |- (-u1 x. -u1) = 1
25	24	opreq1i 3956	. . . . . . . . 9 |- ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (1(.s` U)B)
26	21, 25	syl5eq 1511	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = B)
27	1, 3	nvsass 8189	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ -u1 e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
28	11, 27	mp3anr1 910	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ B e. X)) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
29	11, 28	mpanr1 707	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((-u1 x. -u1)(.s` U)B) = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
30	26, 29	eqtr3d 1501	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> B = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
31	30	3adant2 796	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> B = (-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B)))
32	31	opreq2d 3961	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((-u1(.s` U)A)(+v` U)B) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)(-u1(.s` U)B))))
33	18, 20, 32	3eqtr4d 1509	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)(AMB)) = ((-u1(.s` U)A)(+v` U)B))
34	33	opreq2d 3961	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
35	1, 2	nvass 8181	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X /\ B e. X)) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
36	1, 3	nvscl 8187	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
37	11, 36	mp3an2 901	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
38	37	3adant3 797	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
39		3simp3 788	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> B e. X)
40	13, 38, 39	3jca 817	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X /\ B e. X))
41	35, 9, 40	sylanc 471	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = (A(+v` U)((-u1(.s` U)A)(+v` U)B)))
42		eqid 1468	. . . . . 6 |- (0v` U) = (0v` U)
43	1, 2, 3, 42	nvrinv 8213	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (0v` U))
44	43	3adant3 797	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (0v` U))
45	44	opreq1d 3960	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((A(+v` U)(-u1(.s` U)A))(+v` U)B) = ((0v` U)(+v` U)B))
46	34, 41, 45	3eqtr2d 1505	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)(AMB))) = ((0v` U)(+v` U)B))
47	1, 2, 42	nv0lid 8197	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((0v` U)(+v` U)B) = B)
48	47	3adant2 796	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((0v` U)(+v` U)B) = B)
49	7, 46, 48	3eqtrd 1503	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AM(AMB)) = B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207   x. cmul 5211  -ucneg 5265  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  0vcn0v 8145  -vcnsb 8146

This theorem is referenced by:  blocnilem 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157

Copyright terms: Public domain