Theorem nvnd 8319

Description: The norm of a normed complex vector space expressed in terms of the distance function of its induced metric. Problem 1 of [Kreyszig] p. 63.

Hypotheses

Ref	Expression
nvnd.1	|- X = (Base` U)
nvnd.5	|- Z = (0v` U)
nvnd.6	|- N = (norm` U)
nvnd.8	|- D = (IndMet` U)

Assertion

Ref	Expression
nvnd	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) = (ADZ))

Proof of Theorem nvnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvnd.1	. . . . 5 |- X = (Base` U)
2		nvnd.5	. . . . 5 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8255	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)
4	3	adantr 389	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> Z e. X)
5		eqid 1475	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
6		nvnd.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
7		nvnd.8	. . . 4 |- D = (IndMet` U)
8	1, 5, 6, 7	imsdval 8317	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (ADZ) = (N` (A(-v` U)Z)))
9	4, 8	mpd3an3 917	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (ADZ) = (N` (A(-v` U)Z)))
10		eqid 1475	. . . . . 6 |- (+v` U) = (+v` U)
11		eqid 1475	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
12	1, 10, 11, 5	nvmval 8263	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (A(-v` U)Z) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))
13	4, 12	mpd3an3 917	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(-v` U)Z) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))
14		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
15	14	negcl 5369	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
16	11, 2	nvsz 8259	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC) -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
17	15, 16	mpan2 696	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
18	17	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)) = (A(+v` U)Z))
19	18	adantr 389	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)) = (A(+v` U)Z))
20	1, 10, 2	nv0rid 8256	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)Z) = A)
21	13, 19, 20	3eqtrd 1511	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(-v` U)Z) = A)
22	21	fveq2d 3728	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(-v` U)Z)) = (N` A))
23	9, 22	eqtr2d 1508	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) = (ADZ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  0vcn0v 8207  -vcnsb 8208  normcnm 8209  IndMetcims 8210

This theorem is referenced by:  nvlmle 8333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220

Copyright terms: Public domain