Theorem nvmtri 8299

Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference.

Hypotheses

Ref	Expression
nvmtri.1	|- X = (Base` U)
nvmtri.3	|- M = (-v` U)
nvmtri.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvmtri	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Proof of Theorem nvmtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmtri.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		nvmtri.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	1, 2, 3	nvtri 8298	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)B) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
5		ax1cn 5269	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6	5	negcl 5369	. . . . 5 |- -u1 e. CC
7		eqid 1475	. . . . . 6 |- (.s` U) = (.s` U)
8	1, 7	nvscl 8247	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
9	6, 8	mp3an2 904	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
10	9	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (-u1(.s` U)B) e. X)
11	4, 10	syld3an3 870	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
12		nvmtri.3	. . . 4 |- M = (-v` U)
13	1, 2, 7, 12	nvmval 8263	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
14	13	fveq2d 3728	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
15	1, 7, 3	nvs 8290	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
16	6, 15	mp3an2 904	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` (-u1(.s` U)B)) = ((abs` -u1) x. (N` B)))
17	1, 3	nvcl 8287	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. RR)
18	17	recnd 5315	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) e. CC)
19		mulid2t 5417	. . . . . . 7 |- ((N` B) e. CC -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
20	18, 19	syl 10	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (1 x. (N` B)) = (N` B))
21	5	absneg 6844	. . . . . . . 8 |- (abs` -u1) = (abs` 1)
22		0re 5440	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
23		1re 5435	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
24		lt01 5680	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
25	22, 23, 24	ltlei 5581	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
26	23	absid 6861	. . . . . . . . 9 |- (0 <_ 1 -> (abs` 1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (abs` 1) = 1
28	21, 27	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- (abs` -u1) = 1
29	28	opreq1i 3971	. . . . . 6 |- ((abs` -u1) x. (N` B)) = (1 x. (N` B))
30	20, 29	syl5eq 1519	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> ((abs` -u1) x. (N` B)) = (N` B))
31	16, 30	eqtr2d 1508	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
32	31	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` B) = (N` (-u1(.s` U)B)))
33	32	opreq2d 3976	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> ((N` A) + (N` B)) = ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)B))))
34	11, 14, 33	3brtr4d 2645	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (N` (AMB)) <_ ((N` A) + (N` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293   <_ cle 5295  abscabs 6750  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206  -vcnsb 8208  normcnm 8209

This theorem is referenced by:  ubthlem11 8539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain