Theorem nvge0 8241

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64.

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	|- X = (Base` U)
nvge0.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodge0t 5784	. 2 |- (((2 e. RR /\ (N` A) e. RR) /\ (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A)))) -> 0 <_ (N` A))
2		nvge0.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
3		nvge0.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	2, 3	nvcl 8227	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
5		2re 5926	. . 3 |- 2 e. RR
6	4, 5	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 e. RR /\ (N` A) e. RR))
7		eqid 1468	. . . . . . . 8 |- (0v` U) = (0v` U)
8	7, 3	nvz0 8235	. . . . . . 7 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0v` U)) = 0)
9	8	adantr 389	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = 0)
10		eqid 1468	. . . . . . . . . 10 |- (.s` U) = (.s` U)
11	2, 10, 7	nv0 8198	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0(.s` U)A) = (0v` U))
12		ax1cn 5241	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
13	12	negid 5352	. . . . . . . . . 10 |- (1 + -u1) = 0
14	13	opreq1i 3956	. . . . . . . . 9 |- ((1 + -u1)(.s` U)A) = (0(.s` U)A)
15	11, 14	syl5req 1512	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = ((1 + -u1)(.s` U)A))
16	12	negcl 5341	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
17		eqid 1468	. . . . . . . . . . 11 |- (+v` U) = (+v` U)
18	2, 17, 10	nvdir 8192	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ -u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
19	12, 18	mp3anr1 910	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u1 e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
20	16, 19	mpanr1 707	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + -u1)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
21	2, 10	nvsid 8188	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1(.s` U)A) = A)
22	21	opreq1d 3960	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
23	15, 20, 22	3eqtrd 1503	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0v` U) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))
24	23	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
25	9, 24	eqtr3d 1501	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 = (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))))
26	2, 10	nvscl 8187	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
27	16, 26	mp3an2 901	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)A) e. X)
28	2, 17, 3	nvtri 8237	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ (-u1(.s` U)A) e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
29	27, 28	mpd3an3 914	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
30	25, 29	eqbrtrd 2625	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))))
31	2, 10, 3	nvm1 8231	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (-u1(.s` U)A)) = (N` A))
32	31	opreq2d 3961	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = ((N` A) + (N` A)))
33	4	recnd 5287	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
34		2timest 5951	. . . . . 6 |- ((N` A) e. CC -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
35	33, 34	syl 10	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (2 x. (N` A)) = ((N` A) + (N` A)))
36	32, 35	eqtr4d 1502	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) + (N` (-u1(.s` U)A))) = (2 x. (N` A)))
37	30, 36	breqtrd 2629	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (2 x. (N` A)))
38		2pos 5936	. . 3 |- 0 < 2
39	37, 38	jctil 292	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (0 < 2 /\ 0 <_ (2 x. (N` A))))
40	1, 6, 39	sylanc 471	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> 0 <_ (N` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211  -ucneg 5265   <_ cle 5267   < clt 5458  2c2 5908  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  0vcn0v 8145  normcnm 8147

This theorem is referenced by:  nvgt0 8242  sm1cnilem 8281  ipnm 8298  nmoge0 8362  nmoub3i 8368  siilem1 8442  siii 8444  ubthlem12 8471  minveclem9 8484  minveclem10 8485  minveclem14 8489  minveclem28 8503  minveclem38 8513  minveceu 8514  htthlem6 8555  htthlem8 8557  htthlem10 8559

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-2 5917  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157

Copyright terms: Public domain