Theorem nvf 8282

Description: Mapping for the norm function.

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	|- X = (Base` U)
nvf.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvf	|- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)

Proof of Theorem nvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
2		eqid 1478	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1478	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1478	. . 3 |- (0v` U) = (0v` U)
5		nvf.6	. . 3 |- N = (norm` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	nvi 8229	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (<.(+v` U), (.s` U)>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = (0v` U)) /\ A.y e. CC (N` (y(.s` U)x)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (x(+v` U)y)) <_ ((N` x) + (N` y)))))
7	6	3simp2d 797	1 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  <.cop 2415   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307  abscabs 6751  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  0vcn0v 8203  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  nvcl 8283  nvdm 8285  imsdval 8313  imsdf 8316  nmcnilem 8333  ipfval 8348  ip1cnilem2 8370  sspn 8391  hilnorm 9025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain