Theorem nvdir 8252

Description: Distributive law for the scalar product of a complex vector space.

Hypotheses

Ref	Expression
nvdi.1	|- X = (Base` U)
nvdi.2	|- G = (+v` U)
nvdi.4	|- S = (.s` U)

Assertion

Ref	Expression
nvdir	|- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A + B)SC) = ((ASC)G(BSC)))

Proof of Theorem nvdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvdi.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
2	1	vafval 8222	. . 3 |- G = (1st` (1st` U))
3		nvdi.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
4	3	smfval 8224	. . 3 |- S = (2nd` (1st` U))
5		nvdi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
6	5, 1	bafval 8223	. . 3 |- X = ran G
7	2, 4, 6	vcdir 8172	. 2 |- (((1st` U) e. CVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A + B)SC) = ((ASC)G(BSC)))
8		eqid 1475	. . 3 |- (1st` U) = (1st` U)
9	8	nvvc 8234	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
10	7, 9	sylan 448	1 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. CC /\ C e. X)) -> ((A + B)SC) = ((ASC)G(BSC)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  1stc1st 4077  CCcc 5232   + caddc 5237  CVeccvc 8164  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  .scns 8206

This theorem is referenced by:  nvge0 8302  ipid 8363  ip2i 8487  ipasslem1 8490  ipasslem11 8500  hldir 8610

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-grp 8037  df-gid 8038  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219

Copyright terms: Public domain