Theorem nvcl 8283

Description: The norm of a normed complex vector space is a real number.

Hypotheses

Ref	Expression
nvf.1	|- X = (Base` U)
nvf.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nvcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)

Proof of Theorem nvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3820	. 2 |- ((N:X-->RR /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
2		nvf.1	. . 3 |- X = (Base` U)
3		nvf.6	. . 3 |- N = (norm` U)
4	2, 3	nvf 8282	. 2 |- (U e. NrmCVec -> N:X-->RR)
5	1, 4	sylan 450	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  -->wf 3184  ` cfv 3188  RRcr 5245  NrmCVeccnv 8199  Basecba 8201  normcnm 8205

This theorem is referenced by:  nvcli 8284  nvm1 8288  nvpi 8290  nvz0 8292  nvmtri 8295  nvabs 8297  nvge0 8298  nvgt0 8299  nv1 8300  nmcnilem 8333  ipval2lem2 8350  4ipval2 8354  ipval2lem5 8356  ipid 8359  ipnm 8360  ipz 8368  ip1cnilem3 8371  ip1cnilem5 8373  ip1cnilem6 8374  nmosetre 8423  nmoge0 8426  nmoub3i 8432  nmounbi 8435  nmlno0lem 8449  nmblolbii 8455  blocnilem 8460  ipblnfi 8512  ubthlem5 8529  ubthlem7 8531  ubthlem8 8532  ubthlem9 8533  ubthlem10 8534  ubthlem11 8535  ubthlem12 8536  minveclem5 8545  minveclem9 8549  minveclem10 8550  minveclem14 8554  minveclem16 8556  minveclem18 8558  minveclem20 8560  minveclem21 8561  minveclem22 8562  minveclem27 8567  minveclem28 8568  minveclem30 8570  minveclem31 8571  minveclem36 8576  minveclem38 8578  minveceu 8579  hlipgt0 8612  htthlem6 8621  htthlem7 8622  htthlem8 8623  htthlem9 8624  htthlem10 8625  htthlem12 8627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-grp 8034  df-gid 8035  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-nm 8215

Copyright terms: Public domain