Theorem nv1 8256

Description: From any nonzero vector, construct a vector whose norm is one.

Hypotheses

Ref	Expression
nv1.1	|- X = (Base` U)
nv1.4	|- S = (.s` U)
nv1.5	|- Z = (0v` U)
nv1.6	|- N = (norm` U)

Assertion

Ref	Expression
nv1	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = 1)

Proof of Theorem nv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nv1.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		nv1.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		nv1.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
4	1, 2, 3	nvsge0 8243	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ ((1 / (N` A)) e. RR /\ 0 <_ (1 / (N` A))) /\ A e. X) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = ((1 / (N` A)) x. (N` A)))
5		3simp1 787	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> U e. NrmCVec)
6		rerecclt 5767	. . . . 5 |- (((N` A) e. RR /\ (N` A) =/= 0) -> (1 / (N` A)) e. RR)
7	1, 3	nvcl 8239	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
8	7	3adant3 798	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) e. RR)
9		nv1.5	. . . . . . . . 9 |- Z = (0v` U)
10	1, 9, 3	nvz 8249	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) = 0 <-> A = Z))
11	10	necon3bid 1598	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A) =/= 0 <-> A =/= Z))
12	11	biimpar 417	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X) /\ A =/= Z) -> (N` A) =/= 0)
13	12	3impa 827	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) =/= 0)
14	6, 8, 13	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (1 / (N` A)) e. RR)
15		1re 5415	. . . . . 6 |- 1 e. RR
16		0re 5420	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
17		lt01 5661	. . . . . . 7 |- 0 < 1
18	16, 15, 17	ltlei 5562	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
19		divge0t 5818	. . . . . 6 |- (((1 e. RR /\ 0 <_ 1) /\ ((N` A) e. RR /\ 0 < (N` A))) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
20	15, 18, 19	mpanl12 707	. . . . 5 |- (((N` A) e. RR /\ 0 < (N` A)) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
21	1, 9, 3	nvgt0 8255	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A =/= Z <-> 0 < (N` A)))
22	21	biimp3a 917	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> 0 < (N` A))
23	20, 8, 22	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> 0 <_ (1 / (N` A)))
24	14, 23	jca 288	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((1 / (N` A)) e. RR /\ 0 <_ (1 / (N` A))))
25		3simp2 788	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> A e. X)
26	4, 5, 24, 25	syl3anc 857	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = ((1 / (N` A)) x. (N` A)))
27		axmulcom 5256	. . 3 |- (((1 / (N` A)) e. CC /\ (N` A) e. CC) -> ((1 / (N` A)) x. (N` A)) = ((N` A) x. (1 / (N` A))))
28	14	recnd 5295	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (1 / (N` A)) e. CC)
29	7	recnd 5295	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
30	29	3adant3 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` A) e. CC)
31	27, 28, 30	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((1 / (N` A)) x. (N` A)) = ((N` A) x. (1 / (N` A))))
32		recidt 5706	. . 3 |- (((N` A) e. CC /\ (N` A) =/= 0) -> ((N` A) x. (1 / (N` A))) = 1)
33	32, 30, 13	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> ((N` A) x. (1 / (N` A))) = 1)
34	26, 31, 33	3eqtrd 1508	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A =/= Z) -> (N` ((1 / (N` A))SA)) = 1)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   x. cmul 5219   / cdiv 5274   <_ cle 5275   < clt 5466  NrmCVeccnv 8155  Basecba 8157  .scns 8158  0vcn0v 8159  normcnm 8161

This theorem is referenced by:  nmlno0lem 8398  nmblolbii 8403  ubthlem10 8482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-2 5925  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-nm 8171

Copyright terms: Public domain