Theorem numth2 4765

Description: Numeration theorem: any set is equinumerous to some ordinal (using AC). Theorem 10.3 of [TakeutiZaring] p. 84.

Assertion

Ref	Expression
numth2	|- E.x e. On x ~~ A

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem numth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2618	. . . 4 |- (y = A -> (x ~~ y <-> x ~~ A))
2	1	rexbidv 1661	. . 3 |- (y = A -> (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On x ~~ A))
3		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
4	3	numth 4764	. . . 4 |- E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y
5	3	bren 4365	. . . . 5 |- (x ~~ y <-> E.z z:x-1-1-onto->y)
6	5	rexbii 1665	. . . 4 |- (E.x e. On x ~~ y <-> E.x e. On E.z z:x-1-1-onto->y)
7	4, 6	mpbir 190	. . 3 |- E.x e. On x ~~ y
8	2, 7	vtoclg 1843	. 2 |- (A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
9		0elon 3017	. . . . 5 |- (/) e. On
10		enrefg 4377	. . . . 5 |- ((/) e. On -> (/) ~~ (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (/) ~~ (/)
12		brprc 2656	. . . 4 |- (-. A e. V -> ((/) ~~ A <-> (/) ~~ (/)))
13	11, 12	mpbiri 194	. . 3 |- (-. A e. V -> (/) ~~ A)
14		breq1 2617	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x ~~ A <-> (/) ~~ A))
15	14	rcla4ev 1873	. . . 4 |- (((/) e. On /\ (/) ~~ A) -> E.x e. On x ~~ A)
16	9, 15	mpan 694	. . 3 |- ((/) ~~ A -> E.x e. On x ~~ A)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. On x ~~ A)
18	8, 17	pm2.61i 126	1 |- E.x e. On x ~~ A

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643  Vcvv 1807  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  Oncon0 2943  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  numthcor 4766  cardval 4806

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-en 4357

Copyright terms: Public domain