Theorem ntunte 10439

Description: The intersection of a union U.A with a set B is equal to the union of the intersections of each element of A with B.

Assertion

Ref	Expression
ntunte	|- (U.A i^i B) = U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)}

Distinct variable groups:   x,A,y   x,B,y

Proof of Theorem ntunte

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 2507	. . . . 5 |- (z e. U.A <-> E.y e. A z e. y)
2	1	anbi1i 481	. . . 4 |- ((z e. U.A /\ z e. B) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
3		elin 2207	. . . 4 |- (z e. (U.A i^i B) <-> (z e. U.A /\ z e. B))
4		ancom 435	. . . . . . . 8 |- ((z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> (E.y e. A x = (y i^i B) /\ z e. x))
5		r19.41v 1763	. . . . . . . 8 |- (E.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> (E.y e. A x = (y i^i B) /\ z e. x))
6	4, 5	bitr4 176	. . . . . . 7 |- ((z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
7	6	exbii 1051	. . . . . 6 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.xE.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
8		rexcom4 1824	. . . . . 6 |- (E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> E.xE.y e. A (x = (y i^i B) /\ z e. x))
9	7, 8	bitr4 176	. . . . 5 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x))
10		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
11	10	inex1 2716	. . . . . . . 8 |- (y i^i B) e. V
12		eleq2 1535	. . . . . . . 8 |- (x = (y i^i B) -> (z e. x <-> z e. (y i^i B)))
13	11, 12	ceqsexv 1835	. . . . . . 7 |- (E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> z e. (y i^i B))
14		elin 2207	. . . . . . 7 |- (z e. (y i^i B) <-> (z e. y /\ z e. B))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . 6 |- (E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> (z e. y /\ z e. B))
16	15	rexbii 1668	. . . . 5 |- (E.y e. A E.x(x = (y i^i B) /\ z e. x) <-> E.y e. A (z e. y /\ z e. B))
17		r19.41v 1763	. . . . 5 |- (E.y e. A (z e. y /\ z e. B) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
18	9, 16, 17	3bitr 177	. . . 4 |- (E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)) <-> (E.y e. A z e. y /\ z e. B))
19	2, 3, 18	3bitr4 183	. . 3 |- (z e. (U.A i^i B) <-> E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)))
20		eluniab 2513	. . 3 |- (z e. U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)} <-> E.x(z e. x /\ E.y e. A x = (y i^i B)))
21	19, 20	bitr4 176	. 2 |- (z e. (U.A i^i B) <-> z e. U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)})
22	21	eqriv 1474	1 |- (U.A i^i B) = U.{x | E.y e. A x = (y i^i B)}

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646   i^i cin 2046  U.cuni 2503

This theorem is referenced by:  stoi 10639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-rex 1650  df-v 1812  df-in 2051  df-uni 2504

Copyright terms: Public domain