Theorem ntreq0 7705

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/))))

Distinct variable groups:   x,J   x,S   x,X

Proof of Theorem ntreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 |- X = U.J
2	1	ntrval 7673	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((int` J)` S) = U.{x e. J | x (_ S})
3	2	eqeq1d 1486	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> U.{x e. J | x (_ S} = (/)))
4		elunirab 2518	. . . . . . 7 |- (y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
5	4	negbii 187	. . . . . 6 |- (-. y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> -. E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
6		noel 2287	. . . . . . 7 |- -. y e. (/)
7		bibif 683	. . . . . . 7 |- (-. y e. (/) -> ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> -. y e. U.{x e. J | x (_ S}))
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> -. y e. U.{x e. J | x (_ S})
9		ralnex 1656	. . . . . 6 |- (A.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S) <-> -. E.x e. J (y e. x /\ x (_ S))
10	5, 8, 9	3bitr4 183	. . . . 5 |- ((y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> A.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
11	10	albii 1001	. . . 4 |- (A.y(y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)) <-> A.yA.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
12		dfcleq 1473	. . . 4 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.y(y e. U.{x e. J | x (_ S} <-> y e. (/)))
13		ralcom4 1826	. . . 4 |- (A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> A.yA.x e. J -. (y e. x /\ x (_ S))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. . 3 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S))
15		n0 2293	. . . . . . 7 |- (-. x = (/) <-> E.y y e. x)
16	15	imbi1i 186	. . . . . 6 |- ((-. x = (/) -> -. x (_ S) <-> (E.y y e. x -> -. x (_ S))
17		19.23v 1295	. . . . . 6 |- (A.y(y e. x -> -. x (_ S) <-> (E.y y e. x -> -. x (_ S))
18		imnan 242	. . . . . . 7 |- ((y e. x -> -. x (_ S) <-> -. (y e. x /\ x (_ S))
19	18	albii 1001	. . . . . 6 |- (A.y(y e. x -> -. x (_ S) <-> A.y -. (y e. x /\ x (_ S))
20	16, 17, 19	3bitr2r 180	. . . . 5 |- (A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> (-. x = (/) -> -. x (_ S))
21		pm4.1 164	. . . . 5 |- ((x (_ S -> x = (/)) <-> (-. x = (/) -> -. x (_ S))
22	20, 21	bitr4 176	. . . 4 |- (A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> (x (_ S -> x = (/)))
23	22	ralbii 1670	. . 3 |- (A.x e. J A.y -. (y e. x /\ x (_ S) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/)))
24	14, 23	bitr 173	. 2 |- (U.{x e. J | x (_ S} = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/)))
25	3, 24	syl6bb 538	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (((int` J)` S) = (/) <-> A.x e. J (x (_ S -> x = (/))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050  (/)c0 2283  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  intcnt 7658

This theorem is referenced by:  bcthlem7 8002

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-ntr 7661

Copyright terms: Public domain