Theorem nthruc 6627

Description: The sequence NN, ZZ, QQ, RR, and CC forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to ZZ but not NN, one-half belongs to QQ but not ZZ, the square root of 2 belongs to RR but not QQ, and finally that the imaginary number i belongs to CC but not RR. See nthruz 6628 for a further refinement.

Assertion

Ref	Expression
nthruc	|- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Proof of Theorem nthruc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 6049	. . . 4 |- NN (_ ZZ
2		0z 6044	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
3		0nnn 5847	. . . . 5 |- -. 0 e. NN
4	2, 3	pm3.2i 285	. . . 4 |- (0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN)
5		ssnelpss 2301	. . . 4 |- (NN (_ ZZ -> ((0 e. ZZ /\ -. 0 e. NN) -> NN (. ZZ))
6	1, 4, 5	mp2 43	. . 3 |- NN (. ZZ
7		zssq 6150	. . . 4 |- ZZ (_ QQ
8		1z 6057	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
9		2nn 5897	. . . . . 6 |- 2 e. NN
10		znq 6147	. . . . . 6 |- ((1 e. ZZ /\ 2 e. NN) -> (1 / 2) e. QQ)
11	8, 9, 10	mp2an 694	. . . . 5 |- (1 / 2) e. QQ
12		halfnz 6092	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
13	11, 12	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ)
14		ssnelpss 2301	. . . 4 |- (ZZ (_ QQ -> (((1 / 2) e. QQ /\ -. (1 / 2) e. ZZ) -> ZZ (. QQ))
15	7, 13, 14	mp2 43	. . 3 |- ZZ (. QQ
16	6, 15	pm3.2i 285	. 2 |- (NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ)
17		qssre 6153	. . . 4 |- QQ (_ RR
18		sqr2re 6611	. . . . 5 |- (sqr` 2) e. RR
19		sqr2irr 6610	. . . . . 6 |- (sqr` 2) e/ QQ
20		df-nel 1564	. . . . . 6 |- ((sqr` 2) e/ QQ <-> -. (sqr` 2) e. QQ)
21	19, 20	mpbi 189	. . . . 5 |- -. (sqr` 2) e. QQ
22	18, 21	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ)
23		ssnelpss 2301	. . . 4 |- (QQ (_ RR -> (((sqr` 2) e. RR /\ -. (sqr` 2) e. QQ) -> QQ (. RR))
24	17, 22, 23	mp2 43	. . 3 |- QQ (. RR
25		axresscn 5191	. . . 4 |- RR (_ CC
26		axicn 5193	. . . . 5 |- i e. CC
27		inelr 6616	. . . . 5 |- -. i e. RR
28	26, 27	pm3.2i 285	. . . 4 |- (i e. CC /\ -. i e. RR)
29		ssnelpss 2301	. . . 4 |- (RR (_ CC -> ((i e. CC /\ -. i e. RR) -> RR (. CC))
30	25, 28, 29	mp2 43	. . 3 |- RR (. CC
31	24, 30	pm3.2i 285	. 2 |- (QQ (. RR /\ RR (. CC)
32	16, 31	pm3.2i 285	1 |- ((NN (. ZZ /\ ZZ (. QQ) /\ (QQ (. RR /\ RR (. CC))

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   e. wcel 1105   e/ wnel 1562   (_ wss 2018   (. wpss 2019  ` cfv 3145  (class class class)co 3902  CCcc 5155  RRcr 5156  0cc0 5157  1c1 5158  ici 5159   / cdiv 5217  NNcn 5219  ZZcz 5221  QQcq 5222  2c2 5859  sqrcsqr 6550

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-n0 5998  df-z 6034  df-q 6145  df-seq1 6196  df-uz 6301  df-exp 6452  df-sqr 6551

Copyright terms: Public domain