Theorem nsmallpq 5055

Description: The is no smallest positive fraction.

Assertion

Ref	Expression
nsmallpq	|- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nsmallpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpq 5054	. 2 |- (A e. Q. -> E.x(x +Q x) = A)
2		eleq1 1526	. . . . . 6 |- ((x +Q x) = A -> ((x +Q x) e. Q. <-> A e. Q.))
3		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
4		dmaddpq 5031	. . . . . . 7 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
5		0npq 5022	. . . . . . 7 |- -. (/) e. Q.
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 4032	. . . . . 6 |- ((x +Q x) e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.))
7	2, 6	syl6bir 215	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (A e. Q. -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
8	7	com12 11	. . . 4 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> (x e. Q. /\ x e. Q.)))
9		breq2 2613	. . . . 5 |- ((x +Q x) = A -> (x <Q (x +Q x) <-> x <Q A))
10	3, 3	ltaddpq 5051	. . . . 5 |- ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q (x +Q x))
11	9, 10	syl5bi 208	. . . 4 |- ((x +Q x) = A -> ((x e. Q. /\ x e. Q.) -> x <Q A))
12	8, 11	sylcom 51	. . 3 |- (A e. Q. -> ((x +Q x) = A -> x <Q A))
13	12	19.22dv 1285	. 2 |- (A e. Q. -> (E.x(x +Q x) = A -> E.x x <Q A))
14	1, 13	mpd 26	1 |- (A e. Q. -> E.x x <Q A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  Q.cnq 4951   +Q cplq 4953   <Q cltq 4956

This theorem is referenced by:  reclem1pr 5128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-ltq 5014  df-1q 5015

Copyright terms: Public domain