Theorem normpyct 8934

Description: Corollary to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normpyct	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> (normh` A) <_ (normh` (A +h B))))

Proof of Theorem normpyct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normclt 8912	. . . . . . . . . 10 |- (A e. H~ -> (normh` A) e. RR)
2		resqclt 6552	. . . . . . . . . 10 |- ((normh` A) e. RR -> ((normh` A)^2) e. RR)
3	1, 2	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (A e. H~ -> ((normh` A)^2) e. RR)
4	3	recnd 5287	. . . . . . . 8 |- (A e. H~ -> ((normh` A)^2) e. CC)
5		ax0id 5253	. . . . . . . 8 |- (((normh` A)^2) e. CC -> (((normh` A)^2) + 0) = ((normh` A)^2))
6	4, 5	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. H~ -> (((normh` A)^2) + 0) = ((normh` A)^2))
7	6	adantr 389	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` A)^2) + 0) = ((normh` A)^2))
8		normclt 8912	. . . . . . . . 9 |- (B e. H~ -> (normh` B) e. RR)
9		sqge0t 6564	. . . . . . . . 9 |- ((normh` B) e. RR -> 0 <_ ((normh` B)^2))
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- (B e. H~ -> 0 <_ ((normh` B)^2))
11	10	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> 0 <_ ((normh` B)^2))
12		0re 5412	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
13		leadd2t 5600	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ ((normh` B)^2) e. RR /\ ((normh` A)^2) e. RR) -> (0 <_ ((normh` B)^2) <-> (((normh` A)^2) + 0) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))
14	12, 13	mp3an1 900	. . . . . . . . 9 |- ((((normh` B)^2) e. RR /\ ((normh` A)^2) e. RR) -> (0 <_ ((normh` B)^2) <-> (((normh` A)^2) + 0) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))
15	14	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((((normh` A)^2) e. RR /\ ((normh` B)^2) e. RR) -> (0 <_ ((normh` B)^2) <-> (((normh` A)^2) + 0) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))
16		resqclt 6552	. . . . . . . . 9 |- ((normh` B) e. RR -> ((normh` B)^2) e. RR)
17	8, 16	syl 10	. . . . . . . 8 |- (B e. H~ -> ((normh` B)^2) e. RR)
18	15, 3, 17	syl2an 454	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (0 <_ ((normh` B)^2) <-> (((normh` A)^2) + 0) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))
19	11, 18	mpbid 195	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (((normh` A)^2) + 0) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)))
20	7, 19	eqbrtrrd 2627	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((normh` A)^2) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)))
21	20	adantr 389	. . . 4 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (A .ih B) = 0) -> ((normh` A)^2) <_ (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)))
22		normpytht 8933	. . . . 5 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> ((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2))))
23	22	imp 350	. . . 4 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (A .ih B) = 0) -> ((normh` (A +h B))^2) = (((normh` A)^2) + ((normh` B)^2)))
24	21, 23	breqtrrd 2631	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (A .ih B) = 0) -> ((normh` A)^2) <_ ((normh` (A +h B))^2))
25	24	ex 373	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> ((normh` A)^2) <_ ((normh` (A +h B))^2)))
26		le2sqt 6562	. . 3 |- ((((normh` A) e. RR /\ 0 <_ (normh` A)) /\ ((normh` (A +h B)) e. RR /\ 0 <_ (normh` (A +h B)))) -> ((normh` A) <_ (normh` (A +h B)) <-> ((normh` A)^2) <_ ((normh` (A +h B))^2)))
27	1	adantr 389	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (normh` A) e. RR)
28		normge0t 8913	. . . 4 |- (A e. H~ -> 0 <_ (normh` A))
29	28	adantr 389	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> 0 <_ (normh` A))
30		hvaddclt 8803	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A +h B) e. H~)
31		normclt 8912	. . . 4 |- ((A +h B) e. H~ -> (normh` (A +h B)) e. RR)
32	30, 31	syl 10	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (normh` (A +h B)) e. RR)
33		normge0t 8913	. . . 4 |- ((A +h B) e. H~ -> 0 <_ (normh` (A +h B)))
34	30, 33	syl 10	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> 0 <_ (normh` (A +h B)))
35	26, 27, 29, 32, 34	syl2anc 472	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((normh` A) <_ (normh` (A +h B)) <-> ((normh` A)^2) <_ ((normh` (A +h B))^2)))
36	25, 35	sylibrd 204	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A .ih B) = 0 -> (normh` A) <_ (normh` (A +h B))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   <_ cle 5267  2c2 5908  ^cexp 6500  H~chil 8727   +h cva 8728   .ih csp 8732  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  pjnorm 9583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hnorm 8776

Copyright terms: Public domain