Theorem normpar 9021

Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Hypotheses

Ref	Expression
normpar.1	|- A e. H~
normpar.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
normpar	|- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Proof of Theorem normpar

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normpar.1	. . . . . 6 |- A e. H~
2		normpar.2	. . . . . 6 |- B e. H~
3	1, 2, 1, 2	normlem9 8984	. . . . 5 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
4	1, 1	hicl 8948	. . . . . . 7 |- (A .ih A) e. CC
5	2, 2	hicl 8948	. . . . . . 7 |- (B .ih B) e. CC
6	4, 5	addcl 5320	. . . . . 6 |- ((A .ih A) + (B .ih B)) e. CC
7	1, 2	hicl 8948	. . . . . . 7 |- (A .ih B) e. CC
8	2, 1	hicl 8948	. . . . . . 7 |- (B .ih A) e. CC
9	7, 8	addcl 5320	. . . . . 6 |- ((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
10	6, 9	negsub 5381	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A)))
11	3, 10	eqtr4 1498	. . . 4 |- ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))
12	1, 2, 1, 2	normlem8 8983	. . . 4 |- ((A +h B) .ih (A +h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))
13	11, 12	opreq12i 3973	. . 3 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A))))
14	9	negcl 5369	. . . 4 |- -u((A .ih B) + (B .ih A)) e. CC
15	6, 14, 6, 9	add42 5343	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) + (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))))
16	9	negid 5380	. . . . 5 |- (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A))) = 0
17	16	opreq2i 3972	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0)
18	6, 6	addcl 5320	. . . . 5 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) e. CC
19	18	addid1 5330	. . . 4 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + 0) = (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B)))
20	4, 5, 4, 5	add4 5342	. . . 4 |- (((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
21	17, 19, 20	3eqtr 1499	. . 3 |- ((((A .ih A) + (B .ih B)) + ((A .ih A) + (B .ih B))) + (((A .ih B) + (B .ih A)) + -u((A .ih B) + (B .ih A)))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
22	13, 15, 21	3eqtr 1499	. 2 |- (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
23	1, 2	hvsubcl 8891	. . . 4 |- (A -h B) e. H~
24	23	normsq 8999	. . 3 |- ((normh` (A -h B))^2) = ((A -h B) .ih (A -h B))
25	1, 2	hvaddcl 8888	. . . 4 |- (A +h B) e. H~
26	25	normsq 8999	. . 3 |- ((normh` (A +h B))^2) = ((A +h B) .ih (A +h B))
27	24, 26	opreq12i 3973	. 2 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = (((A -h B) .ih (A -h B)) + ((A +h B) .ih (A +h B)))
28	1	normsq 8999	. . . . 5 |- ((normh` A)^2) = (A .ih A)
29	28	opreq2i 3972	. . . 4 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = (2 x. (A .ih A))
30	4	2times 6003	. . . 4 |- (2 x. (A .ih A)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
31	29, 30	eqtr 1495	. . 3 |- (2 x. ((normh` A)^2)) = ((A .ih A) + (A .ih A))
32	2	normsq 8999	. . . . 5 |- ((normh` B)^2) = (B .ih B)
33	32	opreq2i 3972	. . . 4 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = (2 x. (B .ih B))
34	5	2times 6003	. . . 4 |- (2 x. (B .ih B)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
35	33, 34	eqtr 1495	. . 3 |- (2 x. ((normh` B)^2)) = ((B .ih B) + (B .ih B))
36	31, 35	opreq12i 3973	. 2 |- ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2))) = (((A .ih A) + (A .ih A)) + ((B .ih B) + (B .ih B)))
37	22, 27, 36	3eqtr4 1505	1 |- (((normh` (A -h B))^2) + ((normh` (A +h B))^2)) = ((2 x. ((normh` A)^2)) + (2 x. ((normh` B)^2)))

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  0cc0 5234   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293  2c2 5961  ^cexp 6568  H~chil 8788   +h cva 8789   -h cmv 8792   .ih csp 8793  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  normpart 9022  normpar2 9023

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain