Theorem normlem9at 8908

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98.

Assertion

Ref	Expression
normlem9at	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A))))

Proof of Theorem normlem9at

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3953	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h B))
2	1, 1	opreq12d 3963	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A -h B) .ih (A -h B)) = ((if(A e. H~, A, 0h) -h B) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h B)))
3		id 59	. . . . . 6 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> A = if(A e. H~, A, 0h))
4	3, 3	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A .ih A) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)))
5	4	opreq1d 3960	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A .ih A) + (B .ih B)) = ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)))
6		opreq1 3953	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (A .ih B) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih B))
7		opreq2 3954	. . . . 5 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (B .ih A) = (B .ih if(A e. H~, A, 0h)))
8	6, 7	opreq12d 3963	. . . 4 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> ((A .ih B) + (B .ih A)) = ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h))))
9	5, 8	opreq12d 3963	. . 3 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A))) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h)))))
10	2, 9	eqeq12d 1481	. 2 |- (A = if(A e. H~, A, 0h) -> (((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A))) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) -h B) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h))))))
11		opreq2 3954	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) -h B) = (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)))
12	11, 11	opreq12d 3963	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) -h B) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = ((if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))))
13		id 59	. . . . . 6 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> B = if(B e. H~, B, 0h))
14	13, 13	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (B .ih B) = (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)))
15	14	opreq2d 3961	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)) = ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h))))
16		opreq2 3954	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (if(A e. H~, A, 0h) .ih B) = (if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)))
17		opreq1 3953	. . . . 5 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (B .ih if(A e. H~, A, 0h)) = (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)))
18	16, 17	opreq12d 3963	. . . 4 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h))) = ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h))))
19	15, 18	opreq12d 3963	. . 3 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h)))) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h))) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)))))
20	12, 19	eqeq12d 1481	. 2 |- (B = if(B e. H~, B, 0h) -> (((if(A e. H~, A, 0h) -h B) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h B)) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (B .ih B)) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih B) + (B .ih if(A e. H~, A, 0h)))) <-> ((if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h))) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h))))))
21		ax-hv0cl 8794	. . . 4 |- 0h e. H~
22	21	elimel 2384	. . 3 |- if(A e. H~, A, 0h) e. H~
23	21	elimel 2384	. . 3 |- if(B e. H~, B, 0h) e. H~
24	22, 23, 22, 23	normlem9 8905	. 2 |- ((if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h)) .ih (if(A e. H~, A, 0h) -h if(B e. H~, B, 0h))) = (((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h))) - ((if(A e. H~, A, 0h) .ih if(B e. H~, B, 0h)) + (if(B e. H~, B, 0h) .ih if(A e. H~, A, 0h))))
25	10, 20, 24	dedth2h 2377	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A -h B) .ih (A -h B)) = (((A .ih A) + (B .ih B)) - ((A .ih B) + (B .ih A))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351  (class class class)co 3948   + caddc 5209   - cmin 5264  H~chil 8727  0hc0v 8730   -h cmv 8731   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  unopf1ot 9756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr