Theorem normlem6 8981

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem2.4	|- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
normlem3.5	|- A = (G .ih G)
normlem3.6	|- C = (F .ih F)
normlem6.7	|- (abs` S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem6	|- (abs` B) <_ (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))

Proof of Theorem normlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.3	. . . . . . . 8 |- G e. H~
2		hiidge0t 8964	. . . . . . . 8 |- (G e. H~ -> 0 <_ (G .ih G))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (G .ih G)
4		normlem3.5	. . . . . . 7 |- A = (G .ih G)
5	3, 4	breqtrr 2640	. . . . . 6 |- 0 <_ A
6		hiidrclt 8961	. . . . . . . . 9 |- (G e. H~ -> (G .ih G) e. RR)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (G .ih G) e. RR
8	4, 7	eqeltr 1544	. . . . . . 7 |- A e. RR
9		normlem1.1	. . . . . . . 8 |- S e. CC
10		normlem1.2	. . . . . . . 8 |- F e. H~
11		normlem2.4	. . . . . . . 8 |- B = -u(((*` S) x. (F .ih G)) + (S x. (G .ih F)))
12	9, 10, 1, 11	normlem2 8977	. . . . . . 7 |- B e. RR
13		normlem3.6	. . . . . . . 8 |- C = (F .ih F)
14		hiidrclt 8961	. . . . . . . . 9 |- (F e. H~ -> (F .ih F) e. RR)
15	10, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (F .ih F) e. RR
16	13, 15	eqeltr 1544	. . . . . . 7 |- C e. RR
17		opreq1 3968	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (x^2) = (if(x e. RR, x, 0)^2))
18	17	opreq2d 3976	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (A x. (x^2)) = (A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)))
19		opreq2 3969	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (B x. x) = (B x. if(x e. RR, x, 0)))
20	18, 19	opreq12d 3978	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> ((A x. (x^2)) + (B x. x)) = ((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))))
21	20	opreq1d 3975	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) = (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C))
22	21	breq2d 2630	. . . . . . . . 9 |- (x = if(x e. RR, x, 0) -> (0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C) <-> 0 <_ (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C)))
23		0re 5440	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
24	23	elimel 2394	. . . . . . . . . 10 |- if(x e. RR, x, 0) e. RR
25		normlem6.7	. . . . . . . . . 10 |- (abs` S) = 1
26	9, 10, 1, 11, 4, 13, 24, 25	normlem5 8980	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ (((A x. (if(x e. RR, x, 0)^2)) + (B x. if(x e. RR, x, 0))) + C)
27	22, 26	dedth 2383	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C))
28	27	rgen 1698	. . . . . . 7 |- A.x e. RR 0 <_ (((A x. (x^2)) + (B x. x)) + C)
29	8, 12, 16, 28	discrlem 6659	. . . . . 6 |- (0 <_ A -> ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0)
30	5, 29	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0
31	12	resqcl 6623	. . . . . 6 |- (B^2) e. RR
32		4re 5982	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
33	8, 16	remulcl 5335	. . . . . . 7 |- (A x. C) e. RR
34	32, 33	remulcl 5335	. . . . . 6 |- (4 x. (A x. C)) e. RR
35	31, 34, 23	lesubadd2 5638	. . . . 5 |- (((B^2) - (4 x. (A x. C))) <_ 0 <-> (B^2) <_ ((4 x. (A x. C)) + 0))
36	30, 35	mpbi 189	. . . 4 |- (B^2) <_ ((4 x. (A x. C)) + 0)
37	34	recn 5314	. . . . 5 |- (4 x. (A x. C)) e. CC
38	37	addid1 5330	. . . 4 |- ((4 x. (A x. C)) + 0) = (4 x. (A x. C))
39	36, 38	breqtr 2638	. . 3 |- (B^2) <_ (4 x. (A x. C))
40	12	sqge0 6628	. . . 4 |- 0 <_ (B^2)
41		4pos 5992	. . . . . 6 |- 0 < 4
42	23, 32, 41	ltlei 5581	. . . . 5 |- 0 <_ 4
43		hiidge0t 8964	. . . . . . . 8 |- (F e. H~ -> 0 <_ (F .ih F))
44	10, 43	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0 <_ (F .ih F)
45	44, 13	breqtrr 2640	. . . . . 6 |- 0 <_ C
46	8, 16	mulge0 5607	. . . . . 6 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ C) -> 0 <_ (A x. C))
47	5, 45, 46	mp2an 697	. . . . 5 |- 0 <_ (A x. C)
48	32, 33	mulge0 5607	. . . . 5 |- ((0 <_ 4 /\ 0 <_ (A x. C)) -> 0 <_ (4 x. (A x. C)))
49	42, 47, 48	mp2an 697	. . . 4 |- 0 <_ (4 x. (A x. C))
50	31, 34	sqrle 6707	. . . 4 |- ((0 <_ (B^2) /\ 0 <_ (4 x. (A x. C))) -> ((B^2) <_ (4 x. (A x. C)) <-> (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C)))))
51	40, 49, 50	mp2an 697	. . 3 |- ((B^2) <_ (4 x. (A x. C)) <-> (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C))))
52	39, 51	mpbi 189	. 2 |- (sqr` (B^2)) <_ (sqr` (4 x. (A x. C)))
53	12	absre 6874	. 2 |- (abs` B) = (sqr` (B^2))
54	32, 33, 42, 47	sqrmuli 6704	. . 3 |- (sqr` (4 x. (A x. C))) = ((sqr` 4) x. (sqr` (A x. C)))
55		sqr4 6717	. . . 4 |- (sqr` 4) = 2
56	8, 16, 5, 45	sqrmuli 6704	. . . 4 |- (sqr` (A x. C)) = ((sqr` A) x. (sqr` C))
57	55, 56	opreq12i 3973	. . 3 |- ((sqr` 4) x. (sqr` (A x. C))) = (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))
58	54, 57	eqtr2 1496	. 2 |- (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C))) = (sqr` (4 x. (A x. C)))
59	52, 53, 58	3brtr4 2643	1 |- (abs` B) <_ (2 x. ((sqr` A) x. (sqr` C)))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  ifcif 2361   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292  -ucneg 5293   <_ cle 5295  2c2 5961  4c4 5963  ^cexp 6568  sqrcsqr 6669  *ccj 6749  abscabs 6750  H~chil 8788   .ih csp 8793

This theorem is referenced by:  normlem7 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulass 8877  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain