Theorem normlem1 8976

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~
normlem1.4	|- R e. RR
normlem1.5	|- (abs` S) = 1

Assertion

Ref	Expression
normlem1	|- ((F -h ((S x. R) .h G)) .ih (F -h ((S x. R) .h G))) = (((F .ih F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .ih G))) + (((S x. -uR) x. (G .ih F)) + ((R^2) x. (G .ih G))))

Proof of Theorem normlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.1	. . . 4 |- S e. CC
2		normlem1.4	. . . . 5 |- R e. RR
3	2	recn 5314	. . . 4 |- R e. CC
4	1, 3	mulcl 5321	. . 3 |- (S x. R) e. CC
5		normlem1.2	. . 3 |- F e. H~
6		normlem1.3	. . 3 |- G e. H~
7	4, 5, 6	normlem0 8975	. 2 |- ((F -h ((S x. R) .h G)) .ih (F -h ((S x. R) .h G))) = (((F .ih F) + (-u(*` (S x. R)) x. (F .ih G))) + ((-u(S x. R) x. (G .ih F)) + (((S x. R) x. (*` (S x. R))) x. (G .ih G))))
8	1, 3	cjmul 6789	. . . . . . . 8 |- (*` (S x. R)) = ((*` S) x. (*` R))
9	3	cjreb 6781	. . . . . . . . . 10 |- (R e. RR <-> (*` R) = R)
10	2, 9	mpbi 189	. . . . . . . . 9 |- (*` R) = R
11	10	opreq2i 3972	. . . . . . . 8 |- ((*` S) x. (*` R)) = ((*` S) x. R)
12	8, 11	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- (*` (S x. R)) = ((*` S) x. R)
13	12	negeqi 5360	. . . . . 6 |- -u(*` (S x. R)) = -u((*` S) x. R)
14	1	cjcl 6767	. . . . . . 7 |- (*` S) e. CC
15	14, 3	mulneg2 5446	. . . . . 6 |- ((*` S) x. -uR) = -u((*` S) x. R)
16	13, 15	eqtr4 1498	. . . . 5 |- -u(*` (S x. R)) = ((*` S) x. -uR)
17	16	opreq1i 3971	. . . 4 |- (-u(*` (S x. R)) x. (F .ih G)) = (((*` S) x. -uR) x. (F .ih G))
18	17	opreq2i 3972	. . 3 |- ((F .ih F) + (-u(*` (S x. R)) x. (F .ih G))) = ((F .ih F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .ih G)))
19	1, 3	mulneg2 5446	. . . . . 6 |- (S x. -uR) = -u(S x. R)
20	19	eqcomi 1479	. . . . 5 |- -u(S x. R) = (S x. -uR)
21	20	opreq1i 3971	. . . 4 |- (-u(S x. R) x. (G .ih F)) = ((S x. -uR) x. (G .ih F))
22	8	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- ((S x. R) x. (*` (S x. R))) = ((S x. R) x. ((*` S) x. (*` R)))
23	3	cjcl 6767	. . . . . . . 8 |- (*` R) e. CC
24	1, 3, 14, 23	mul4 5425	. . . . . . 7 |- ((S x. R) x. ((*` S) x. (*` R))) = ((S x. (*` S)) x. (R x. (*` R)))
25		normlem1.5	. . . . . . . . . . 11 |- (abs` S) = 1
26	25	opreq1i 3971	. . . . . . . . . 10 |- ((abs` S)^2) = (1^2)
27	1	absvalsq 6837	. . . . . . . . . 10 |- ((abs` S)^2) = (S x. (*` S))
28		sq1 6637	. . . . . . . . . 10 |- (1^2) = 1
29	26, 27, 28	3eqtr3 1503	. . . . . . . . 9 |- (S x. (*` S)) = 1
30	10	opreq2i 3972	. . . . . . . . 9 |- (R x. (*` R)) = (R x. R)
31	29, 30	opreq12i 3973	. . . . . . . 8 |- ((S x. (*` S)) x. (R x. (*` R))) = (1 x. (R x. R))
32	3, 3	mulcl 5321	. . . . . . . . 9 |- (R x. R) e. CC
33	32	mulid2 5333	. . . . . . . 8 |- (1 x. (R x. R)) = (R x. R)
34	31, 33	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- ((S x. (*` S)) x. (R x. (*` R))) = (R x. R)
35	22, 24, 34	3eqtr 1499	. . . . . 6 |- ((S x. R) x. (*` (S x. R))) = (R x. R)
36	3	sqval 6614	. . . . . 6 |- (R^2) = (R x. R)
37	35, 36	eqtr4 1498	. . . . 5 |- ((S x. R) x. (*` (S x. R))) = (R^2)
38	37	opreq1i 3971	. . . 4 |- (((S x. R) x. (*` (S x. R))) x. (G .ih G)) = ((R^2) x. (G .ih G))
39	21, 38	opreq12i 3973	. . 3 |- ((-u(S x. R) x. (G .ih F)) + (((S x. R) x. (*` (S x. R))) x. (G .ih G))) = (((S x. -uR) x. (G .ih F)) + ((R^2) x. (G .ih G)))
40	18, 39	opreq12i 3973	. 2 |- (((F .ih F) + (-u(*` (S x. R)) x. (F .ih G))) + ((-u(S x. R) x. (G .ih F)) + (((S x. R) x. (*` (S x. R))) x. (G .ih G)))) = (((F .ih F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .ih G))) + (((S x. -uR) x. (G .ih F)) + ((R^2) x. (G .ih G))))
41	7, 40	eqtr 1495	1 |- ((F -h ((S x. R) .h G)) .ih (F -h ((S x. R) .h G))) = (((F .ih F) + (((*` S) x. -uR) x. (F .ih G))) + (((S x. -uR) x. (G .ih F)) + ((R^2) x. (G .ih G))))

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239  -ucneg 5293  2c2 5961  ^cexp 6568  *ccj 6749  abscabs 6750  H~chil 8788   .h csm 8790   -h cmv 8792   .ih csp 8793

This theorem is referenced by:  normlem4 8979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hfvadd 8870  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulass 8877  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain