Theorem normlem0 8914

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	|- S e. CC
normlem1.2	|- F e. H~
normlem1.3	|- G e. H~

Assertion

Ref	Expression
normlem0	|- ((F -h (S .h G)) .ih (F -h (S .h G))) = (((F .ih F) + (-u(*` S) x. (F .ih G))) + ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 |- F e. H~
2		normlem1.1	. . . . . 6 |- S e. CC
3		normlem1.3	. . . . . 6 |- G e. H~
4	2, 3	hvmulcl 8823	. . . . 5 |- (S .h G) e. H~
5	1, 4	hvsubval 8829	. . . 4 |- (F -h (S .h G)) = (F +h (-u1 .h (S .h G)))
6	2	mulm1 5452	. . . . . . 7 |- (-u1 x. S) = -uS
7	6	opreq1i 3962	. . . . . 6 |- ((-u1 x. S) .h G) = (-uS .h G)
8		ax1cn 5249	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
9	8	negcl 5349	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
10	9, 2, 3	hvmulass 8852	. . . . . 6 |- ((-u1 x. S) .h G) = (-u1 .h (S .h G))
11	7, 10	eqtr3 1494	. . . . 5 |- (-uS .h G) = (-u1 .h (S .h G))
12	11	opreq2i 3963	. . . 4 |- (F +h (-uS .h G)) = (F +h (-u1 .h (S .h G)))
13	5, 12	eqtr4 1495	. . 3 |- (F -h (S .h G)) = (F +h (-uS .h G))
14	13, 13	opreq12i 3964	. 2 |- ((F -h (S .h G)) .ih (F -h (S .h G))) = ((F +h (-uS .h G)) .ih (F +h (-uS .h G)))
15	2	negcl 5349	. . . 4 |- -uS e. CC
16	15, 3	hvmulcl 8823	. . 3 |- (-uS .h G) e. H~
17	1, 16	hvaddcl 8827	. . 3 |- (F +h (-uS .h G)) e. H~
18		ax-his2 8889	. . 3 |- ((F e. H~ /\ (-uS .h G) e. H~ /\ (F +h (-uS .h G)) e. H~) -> ((F +h (-uS .h G)) .ih (F +h (-uS .h G))) = ((F .ih (F +h (-uS .h G))) + ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G)))))
19	1, 16, 17, 18	mp3an 914	. 2 |- ((F +h (-uS .h G)) .ih (F +h (-uS .h G))) = ((F .ih (F +h (-uS .h G))) + ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G))))
20		his7t 8895	. . . . 5 |- ((F e. H~ /\ F e. H~ /\ (-uS .h G) e. H~) -> (F .ih (F +h (-uS .h G))) = ((F .ih F) + (F .ih (-uS .h G))))
21	1, 1, 16, 20	mp3an 914	. . . 4 |- (F .ih (F +h (-uS .h G))) = ((F .ih F) + (F .ih (-uS .h G)))
22		his5t 8892	. . . . . . 7 |- ((-uS e. CC /\ F e. H~ /\ G e. H~) -> (F .ih (-uS .h G)) = ((*` -uS) x. (F .ih G)))
23	15, 1, 3, 22	mp3an 914	. . . . . 6 |- (F .ih (-uS .h G)) = ((*` -uS) x. (F .ih G))
24	2	cjneg 6740	. . . . . . 7 |- (*` -uS) = -u(*` S)
25	24	opreq1i 3962	. . . . . 6 |- ((*` -uS) x. (F .ih G)) = (-u(*` S) x. (F .ih G))
26	23, 25	eqtr 1492	. . . . 5 |- (F .ih (-uS .h G)) = (-u(*` S) x. (F .ih G))
27	26	opreq2i 3963	. . . 4 |- ((F .ih F) + (F .ih (-uS .h G))) = ((F .ih F) + (-u(*` S) x. (F .ih G)))
28	21, 27	eqtr 1492	. . 3 |- (F .ih (F +h (-uS .h G))) = ((F .ih F) + (-u(*` S) x. (F .ih G)))
29		ax-his3 8890	. . . . 5 |- ((-uS e. CC /\ G e. H~ /\ (F +h (-uS .h G)) e. H~) -> ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G))) = (-uS x. (G .ih (F +h (-uS .h G)))))
30	15, 3, 17, 29	mp3an 914	. . . 4 |- ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G))) = (-uS x. (G .ih (F +h (-uS .h G))))
31		his7t 8895	. . . . . . 7 |- ((G e. H~ /\ F e. H~ /\ (-uS .h G) e. H~) -> (G .ih (F +h (-uS .h G))) = ((G .ih F) + (G .ih (-uS .h G))))
32	3, 1, 16, 31	mp3an 914	. . . . . 6 |- (G .ih (F +h (-uS .h G))) = ((G .ih F) + (G .ih (-uS .h G)))
33		his5t 8892	. . . . . . . 8 |- ((-uS e. CC /\ G e. H~ /\ G e. H~) -> (G .ih (-uS .h G)) = ((*` -uS) x. (G .ih G)))
34	15, 3, 3, 33	mp3an 914	. . . . . . 7 |- (G .ih (-uS .h G)) = ((*` -uS) x. (G .ih G))
35	34	opreq2i 3963	. . . . . 6 |- ((G .ih F) + (G .ih (-uS .h G))) = ((G .ih F) + ((*` -uS) x. (G .ih G)))
36	32, 35	eqtr 1492	. . . . 5 |- (G .ih (F +h (-uS .h G))) = ((G .ih F) + ((*` -uS) x. (G .ih G)))
37	36	opreq2i 3963	. . . 4 |- (-uS x. (G .ih (F +h (-uS .h G)))) = (-uS x. ((G .ih F) + ((*` -uS) x. (G .ih G))))
38	3, 1	hicl 8887	. . . . . 6 |- (G .ih F) e. CC
39	15	cjcl 6707	. . . . . . 7 |- (*` -uS) e. CC
40	3, 3	hicl 8887	. . . . . . 7 |- (G .ih G) e. CC
41	39, 40	mulcl 5301	. . . . . 6 |- ((*` -uS) x. (G .ih G)) e. CC
42	15, 38, 41	adddi 5306	. . . . 5 |- (-uS x. ((G .ih F) + ((*` -uS) x. (G .ih G)))) = ((-uS x. (G .ih F)) + (-uS x. ((*` -uS) x. (G .ih G))))
43	15, 39, 40	mulass 5305	. . . . . . 7 |- ((-uS x. (*` -uS)) x. (G .ih G)) = (-uS x. ((*` -uS) x. (G .ih G)))
44	24	opreq2i 3963	. . . . . . . . 9 |- (-uS x. (*` -uS)) = (-uS x. -u(*` S))
45	2	cjcl 6707	. . . . . . . . . 10 |- (*` S) e. CC
46	2, 45	mul2neg 5427	. . . . . . . . 9 |- (-uS x. -u(*` S)) = (S x. (*` S))
47	44, 46	eqtr 1492	. . . . . . . 8 |- (-uS x. (*` -uS)) = (S x. (*` S))
48	47	opreq1i 3962	. . . . . . 7 |- ((-uS x. (*` -uS)) x. (G .ih G)) = ((S x. (*` S)) x. (G .ih G))
49	43, 48	eqtr3 1494	. . . . . 6 |- (-uS x. ((*` -uS) x. (G .ih G))) = ((S x. (*` S)) x. (G .ih G))
50	49	opreq2i 3963	. . . . 5 |- ((-uS x. (G .ih F)) + (-uS x. ((*` -uS) x. (G .ih G)))) = ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G)))
51	42, 50	eqtr 1492	. . . 4 |- (-uS x. ((G .ih F) + ((*` -uS) x. (G .ih G)))) = ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G)))
52	30, 37, 51	3eqtr 1496	. . 3 |- ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G))) = ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G)))
53	28, 52	opreq12i 3964	. 2 |- ((F .ih (F +h (-uS .h G))) + ((-uS .h G) .ih (F +h (-uS .h G)))) = (((F .ih F) + (-u(*` S) x. (F .ih G))) + ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G))))
54	14, 19, 53	3eqtr 1496	1 |- ((F -h (S .h G)) .ih (F -h (S .h G))) = (((F .ih F) + (-u(*` S) x. (F .ih G))) + ((-uS x. (G .ih F)) + ((S x. (*` S)) x. (G .ih G))))

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219  -ucneg 5273  *ccj 6688  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  normlem1 8915  pjthlem5 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hfvadd 8809  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulass 8816  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-o